专题1.2 等边三角形【十大题型】-2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列（北师大版）

专题1.2 等边三角形【十大题型】 【北师大版】 【题型1 与等边三角形有关的角度的计算】 1 【题型2 共顶点的等边三角形（手拉手图形）】 3 【题型3 平面直角坐标系中的等边三角形】 4 【题型4 与等边三角形有关的线段长度的计算】 6 【题型5 等边三角形的证明】 7 【题型6 与等边三角形有关的规律问题】 8 【题型7 利用等边三角形的性质进行证明】 9 【题型8 与等边三角形有关的动点问题】 11 【题型9 含30°角的直角三角形性质】 12 【题型10 直角三角形斜边的中线】 13 【知识点1 等边三角形】 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 【题型1 与等边三角形有关的角度的计算】 【例1】（2022秋•泰兴市期末）（1）如图1，∠AOB和∠COD都是直角 ①若∠BOC＝60°，则∠BOD＝　　　°，∠AOC＝　　　°； ②改变∠BOC的大小，则∠BOD与∠AOC相等吗？为什么？ （2）如图2，∠AOB＝∠COD＝80°，若∠AOD＝∠BOC+40°，求∠AOC的度数； （3）如图3，将三个相同的等边三角形（三个内角都是60°）的一个顶点重合放置，若∠BAE＝10°，∠HAF＝30°，则∠1＝　　　°． 【变式1-1】（2022秋•巫溪县校级月考）已知：如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上的点，BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD，求∠BEC的度数． 【变式1-2】（2022秋•太原期末）问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系． （1）特例探究： 如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝　　　； 如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝　　　　；这两个图中，∠D与∠A度数的比是　　　； （2）猜想证明： 如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由． 【变式1-3】（2022秋•龙港区期末）已知△ABC，△EFG是边长相等的等边三角形，点D是边BC，EF的中点． （1）如图①，连接AD，GD，则∠ADC的大小＝　　　　（度）；∠GDF的大小＝　　　　（度）； AD与GD的数量关系是　　　　；DC与DF的数量关系是　　　　　　　　； （2）如图②，直线AG，FC相交于点M，求∠AMF的大小． 【题型2 共顶点的等边三角形（手拉手图形）】 【例2】（2022秋•华容县期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论： ①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有 　　　　　　　　．（注：把你认为正确的答案序号都写上） 【变式2-1】（2022秋•西青区期末）如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点E在△ABC内部，连接AE，BE，BD．若∠EBD＝50°，则∠AEB的度数是 　　　　． 【变式2-2】（2022秋•兴化市校级月考）如图1，等边△ABC中，D是AB边上的点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE． （1）求证：△DBC≌△EAC； （2）求证：AE∥BC； （3）如图2，若D在边BA的延长线上，且AB＝6，AD＝2，试求△ABC与△EAC面积的比值． 【变式2-3】（2022秋•赫山区期末）如图，△ABC和△CDE都为等边三角形，E在BC上，AE的延长线交BD于F． （1）求证：AE＝BD； （2）求∠AFB的度数； （3）求证：CF平分∠AFD； （4）直接写出EF，DF，CF之间的数量关系． 【题型3 平面直角坐标系中的等边三角形】 【例3】（2022春•禅城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（2，0），以线段OC为边在第一象限内作等边△OBC，点D为x轴正半轴上一动点（OD＞2），连结BD，以线段BD为边在第一象限内作等边△BDE，直线CE与y轴交于点A，则点A的坐标为（　　） A． B． C．（0，﹣2） D． 【变式3-1】（2022春•龙口市期末）如图，在直角坐标系xOy中，直线MN分别与x轴，y轴交于点M，N，且OM＝4，∠OMN＝30°，等边△AOB的顶点A，B分别在线段MN，OM上，点A的坐标