专题1.1 等腰三角形【八大题型】-2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列（北师大版）

专题1.1 等腰三角形【八大题型】 【北师大版】 【题型1 利用等腰三角形的性质求角度】 1 【题型2 利用等腰三角形的性质求线段长度】 2 【题型3 等腰三角形中的多结论问题】 3 【题型4 利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的个数】 4 【题型5 等腰三角形的证明】 5 【题型6 等腰三角形中的新定义问题】 6 【题型7 等腰三角形中的规律问题】 7 【题型8 等腰三角形中的动点问题】 9 【知识点1 等腰三角形】 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）. 【题型1 利用等腰三角形的性质求角度】 【例1】（2022•南关区校级开学）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　） A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30° 【变式1-1】（2022秋•南昌期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABM＝∠CBN，MN＝BN，则∠MBC的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【变式1-2】（2022春•柯桥区期末）在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC＝α，∠BAD＝β，且AB＝AC＝CD，则β与α之间不可能存在的关系式是（　　） A．β＝90°α B．β＝180°α C．β D．β＝120°α 【变式1-3】（2022春•抚州期末）已知∠ABC＝30°，点P是射线BC上一动点，把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，当△ABP是等腰三角形时，∠ABD的度数为 　　　　　　． 【题型2 利用等腰三角形的性质求线段长度】 【例2】（2022春•源城区期末）已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为（　　） A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．11cm 【变式2-1】（2022秋•蚌埠期末）已知等腰三角形的周长是20，其中一边长为6，则其它两边的长度分别是（　　） A．6和8 B．7和7 C．6和8或7和7 D．3和11 【变式2-2】（2022春•温江区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC于F，连接BF，已知∠A＝48°，AB+BC＝15cm，求△BCF的周长和∠BFE度数． 【变式2-3】（2022秋•仓山区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF＝2，EC＝7，求BF的长度． 【题型3 等腰三角形中的多结论问题】 【例3】（2022秋•定陶区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】（2022秋•密山市期末）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②DE＝BD+CE； ③△ADE的周长等于AB与AC的和； ④BF＝CF． 其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 【变式3-2】（2022秋•覃塘区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F分别在BA、BC的延长线上，∠EAC、∠ABC、∠ACF的平分线相交于点D．对于以下结论：①AD∥BC；②AD＝AC；③∠ADC＝∠ACB；④∠ADB与∠ADC互余．其中正确结论的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3-3】（2022秋•北安市校级期末）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 【题型4 利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的个数】 【例4】（2022秋•顺义区期末）如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点