专题1.13 角平分线（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题1.13 角平分线（知识讲解） 【学习目标】 1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质． 2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法，并能根据尺规作图解决实际问题. 3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题． 【要点梳理】 要点一、角的平分线的性质 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 几何语言：∵DC平分∠ADB , 又∵PE⊥AD,PF⊥BD , 垂足为E、F， ∴PE=PF 特别指出：解题时一定要写上E⊥AD,PF⊥BD这个条件 要点二、角的平分线的判定 角平分线的判定：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 几何语言：∵PE⊥DA,PF⊥DB , 垂足为E、F， 又∵PE=PF ∴DC平分∠ADB , 即点P在∠ADB的平分线上。 要点三、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边D、E. 　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. 　　（3）作射线OC. ∴射线OC即为所求. 要点四、三角形角平分线的性质 三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做这个三角形的内心， 三角形内心到这个三角形三边的距离相等. 三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等. 【典型例题】 类型一、角平分线➽➼性质定理➽➼证明✮✮求线段长✮✮求角度 1． 如图，在中，平分交于点，，分别交，于点，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见详解； （2） 【分析】（1）由题意易证△AFE≌△AFC，进而问题可求证； （2）由（1）可得∠AEC=∠ACE=40°，然后根据三角形外角的性质可求解． 解：（1）证明：∵平分，， ∴， ∵AF=AF， ∴△AFE≌△AFC（ASA）， ∴； （2）解：由（1）可得△AFE≌△AFC， ∴∠AEC=∠ACE， ∵，， ∴∠AEC=∠ACE=40°， ∴． 【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的定义及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、角平分线的定义及三角形外角的性质是解题的关键. 举一反三： 【变式1】 如图，点在等边的外部，为边上的一点，，交于点，． (1) 判断的形状，并说明理由； (2) 若，，求的长． 【答案】(1)等边三角形，理由见分析(2)6 【分析】(1 )利用平行线的性质，证明∠CEF=∠ABC，∠CFE=∠CAB，然后利用三个角相等的三角形是等边三角形即可解答； (2 )连接BD，根据已知易证BD是线段AC的垂直平分线，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得BD平分，最后根据角平分线和平行证明是等腰三角形即可解答． （1）解：是等边三角形，理由： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行证明等腰三角形是解题的关键． 【变式2】（2022·二模）已知：如图， 为 的角平分线，且，为延长线上的一点， ，过作，为垂足．求证： (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1)证明见分析(2)证明见分析(3)证明见分析 【分析】（1）由角平分线得出，利用全等三角形的判定证明即可； （2）由（1）中结论得出，和为等腰三角形，结合条件可得出，由等角对等边即可证明； （3）过点作交的延长线于点，利用角平分线的性质可得，根据直角三角形的判定得出，，，结合图形，利用线段间的数量关系即可证明． 解：（1）为的角平分线， ， 在与中， ， ； （2）， ， ，， ， ，， 和为等腰三角形， ， ， ， ； （3）如图，过点作交的延长线于点， 平分，，， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 【点拨】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等角对等边及角平分线的性质等，理解题意，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键． 类型二、角平分线➽➼判定定理➽➼证明✮✮求线段长✮✮求角度 2．（2022春·山西大同·八年级大同市第三中学校校考阶段练习）如图，在中，D为边上一点，，．求证： (1) ． (2) 平分． 【分析】（1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，可得，即可得结论． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，