第04讲 双曲线-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）

第04讲 双曲线 【考点目录】 【知识梳理】 知识点1 双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注：1、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:.常数要小于两个定点的距离． 2、对双曲线定义中限制条件的理解 (1)当||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|时，M的轨迹不存在． (2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线． (3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． (4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于与的大小. ①若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; ②若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 知识点2 双曲线的标准方程及简单几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 性质 图形 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：； 虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 注：（1）在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负：若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”． （2）已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程. （3）与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)． （4）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b． （5）双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2＋By2＝1的形式，当A＞0，B＞0，A≠B时为椭圆，当A·B＜0时为双曲线. 知识点3 双曲线的焦点三角形 双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理． 以双曲线上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 (1)双曲线的定义： (2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3)面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ， 重要结论：S△PF1F2= 推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得 由三角形的面积公式可得 S△PF1F2= = 知识点4 等轴双曲线和共轭双曲线 1．等轴双曲线 (1)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为－＝1或－＝1(a＞0)． (2)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝. (3)等轴双曲线的方程，； 2．共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．其性质如下： (1)有相同的渐近线； (2)有相同的焦距； (3)离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数1. 知识点5 直线与双曲线的位置关系 1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． 注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． 2、 弦长公式 直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与双曲线交于，两点，则 （为直线斜率） 3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长. 【考点剖析】 考点一 求双曲线的标准方程 1．（2022春·河北邯郸·高二校考阶段练习）已知双曲线的一个焦点是，则实数的值是（    ） A．1 B．-1 C． D． 2．（2022春·北京丰台·高二北京丰台二中校考阶段练习）双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2022春·重庆