第07讲 两条直线的位置关系（讲义）-【寒假自学课】2022年七年级数学寒假精品课（北师大版）

第07讲 两条直线的位置关系 【题型导航】 目录 第07讲 两条直线的位置关系 1 【基础知识点】 1 【重难点剖析】 2 【题型1 对顶角定义的理解】 2 【题型2 利用对顶角相等求角度】 4 【题型3 求一个角的余角、补角】 5 【题型4 与余角、补角有关的计算】 6 【题型5 垂线的定义的理解与应用】 9 【题型6 利用垂线的定义求角的度数】 11 【题型7 点到直线的距离与垂线段最短】 13 【过关检测卷】 16 【基础知识点】 （一）相交线 1、相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.表示方法：如下图，直线AB与直线CD相交于点O 2、对顶角的概念及性质 概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角.性质：对顶角相等. 3、互补与互余 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. （二） 垂直 1、垂直的概念及表示.两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.如下图，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD，垂足为O.垂直的概念包含两个方面的含义：一方面由直角（90°的角）可以得到两条直线垂直；另一方面由两条直线垂直可以得到直角（或90°的角） 2、 垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 3、点到线的距离：如下图所示，过点A作直线的垂线，垂足为点B，则线段AB的长度叫做点A到直线的距离，此时线段AB叫垂线段. （三）平行线 1、在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线.表示方法：我们通常用“∥”表示平行，如下图所示，AB与CD平行，记作AB∥CD或CD∥AB. 平行线：①在同一个平面内；②两条直线；③不相交.三者缺一不可. 【重难点剖析】 【题型1 对顶角定义的理解】 例题1：（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校七年级阶段练习）下列四个图形中，和是对顶角的是（    ）． A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2022·河北·威县第三中学七年级期末）下列选项中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·福建省福州第十四中学七年级期中）下列各图中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用对顶角相等求角度】 例题：（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级统考期中）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC+∠BOD＝90°，则∠BOC的度数为_____． 【变式训练】 1．（2022春·七年级课时练习）如图，直线，，交于点O，∠1=32°，∠2=48°，则∠3=_________． 2．（2022秋·山东德州·七年级统考期末）如图，直线、相交于点，若，则度数为______． 【题型3 求一个角的余角、补角】 例题：（2022春·天津北辰·七年级校考阶段练习）一个角是这个角的余角________；这个角的补角_______. 【变式训练】 1．（2022秋·四川达州·七年级校考期中）已知∠α=72.5°，则∠α的余角是__，∠α的补角是__． 2．（2022春·七年级课时练习）30°角的余角为______ ，补角为______ ，70°39′的余角为______ ，补角为______ ． 【题型4 与余角、补角有关的计算】 例题：（2022春·全国·七年级专题练习）如图，与互为补角，与互为余角，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【变式训练】 1．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠COE=90°． (1)若∠AOC＝40°，求∠BOE的度数； (2)若∠BOC ＝2∠BOD，求∠AOE的度数． 2．（2022春·福建泉州·七年级校考阶段练习）如图，已知，与互余，平分． (1)若，求和； (2)设，，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【题型5 垂线的定义的理解与应用】 例题：（2021·辽宁·沈阳市第一二六中学七年级阶段练习）如图，，，垂足为，则下面的结论中，不正确的是（　　） A．点到的垂线段是线段 B．与互相垂直 C．与互相垂直