专题02 函数的概念与性质-2023年高一数学寒假自我学习课精讲精练（人教A版2019）

专题02 函数的概念与性质 【夯实双基】 一、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数．记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 3、函数的三种表示方法：解析法 图象法 列表法 二、函数的单调性 1、概念 一般地，设函数的定义域为，区间 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． 2、证明函数单调性的步骤 （1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； （2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； （3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系； （4）得出结论． 3、记住几条常用的结论 ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 4、复合函数单调性的判断： 三、函数的奇偶性概念及判断步骤 1、函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． 2、奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形； （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称； 四、幂函数概念 1、概念：形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 2、幂函数的图象及性质 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 五、指数与指数函数 1、次方根的定义：若，则称为的次方根． 2、两个等式：（1）当且时，；2） 3、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： ；； 4、实数指数幂的运算性质 ①．②． ③． 5、指数函数的图象及性质： 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 六、对数与对数函数 1、对数的概念：如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 2、对数（且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 3、对数的运算法则 已知，（且，、） （1） （2） （3） 4、对数公式 （1）对数恒等式： （2）换底公式：， 特别地：． 5、对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 六、函数的零点 1、函数的零点 （1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 2、函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. 3、二分法：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法． 【概念辨析】 （1）函数的定义城为( ) （2）函数是偶函数．_____ （3）函数和是相同的函数( ) （4）在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．（ ） 【答案】（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）错误； 【典例精讲】 考点1 函数的概念 题型一 函数的定义域 例1．（1）（2022·新疆·皮山县高级中学高一期末）下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可. 【详解】选项A，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故A错误； 选项B，函数与的对应关系不同，所以不是同一个函数，故B错误； 选项C，函数的定义域为， 函数的定义域为，两个函数的定义域不同， 所以不是同一个函数，故C错误， 选项D，函数的定义域为，的定义域为， 两个函数的