专题01 不等式-2023年高一数学寒假自我学习课精讲精练（人教A版2019）

专题01 不等式 【夯实双基】 一、不等式的基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： （3）可乘方性： 二、比较两代数式大小的方法 作差法：与0比较大小 作商法：与1比较大小 放缩法： 若且，则（实质是不等式的传递性）． 三、基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、或 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． 1 一正：函数的解析式中，各项均为正数；若部位正，利用负号“—”处理 2 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；不为定值，配凑为和定或积定，一般向分母看齐 3 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．不能取等号时，比较端点值的大小 四、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 五、一元二次不等式恒成立问题 1、转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 2、在区间上的恒成立问题，转化为最值问题；（1）分离参数，转化为最值问题；（2）分类讨论，利用二次函数的最值求解 【概念辨析】 （1）若，则.( ) （2）已知非零实数a和b，；( ) （3）已知， ，则 ( ) （4）已知实数a和b均为正数，则 【答案】（1）错误；（2）正确；（3）错误；（4）正确 【典例精讲】 考点1 不等式性质 题型一 由已知条件判断不等式是否正确 例1．（2022·山东省胶州市第一中学高一期末）对于任意实数，以下四个命题中的真命题是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质，结合特值法，对每个选项进行逐一分析，即可容易求得结果. 【详解】解：对于A，若，当时，，A选项错误； 对于B，取，则，B选项错误； 对于C，取，则，C选项错误； 对于D，若，显然，故可得，又，所以，D选项正确，故选：D. 练习1 （1）（2022·江苏·常州市第三中学高一期中）下列选项正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】对于AC利用不等式同向可加性即可证明，对于B利用不等式可乘性即可，对于D可以举例说明. 【详解】,,相加即得，A正确；对于C，， 且，相加即得，C正确：，，两式相乘，即，B正确；对于D，当时，代入不符合题意，D错.故选：ABC （2）（2022·内蒙古乌兰察布·高一期中）下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】利用不等式的性质判断选项A；求得不等式的解判断选项B；举反例否定选项C；求得不等式的解判断选项D. 【详解】选项A：若，则，则.判断正确； 选项B：若，则或或.判断错误； 选项C：令，，则.判断错误； 选项D：若，则，则.判断正确.故选：BC 题型二 比较大小 例2 （1）试比较下列组式子的大小： ①与，其中； ②与，其中，； ③与，． 【答案】①; ②; ③. 【分析】①通过比较与的大小来确定与的大小；②通过作差法来比较的大小； ③ 通过作差法或作商法比较与的大小. ①解：，， 因为，所以， 即； ②解： ． 因为，，所以，，所以， 即； ③方法一（作差法） ． 因为，所以，，，． 所以，所以． 方法二（作商法） 因为，所以，，， 所以，所以． （2）．已知，则正数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数式与指数式之间的互化，以及作商法比较大小，即可比较的大小，由对数函数的单调性以及中间值法即可比较三者的大小. 【详解】由，得，由，得 ， 因此，即；由，得，于是， 所以正数的大小关系为.故选:A. 练习2 （1）（2022·湖北·武汉市第六中学高一阶段练习）己知，设，则a，b，c的大小关系为_______．（用“”连接） 【答案】 【分析】根据对数运算及对数函数的性质判断即可． 【详解】解：由得，即， ，又， ，，，， 综上：．故答案为：． （2）（2022·广东·深圳科学高中高二阶段练习）已知，则大小关系是__________． 【答案】 【分