专题03 指数与对数函数-2023年高一数学寒假自我学习课精讲精练（人教A版2019）

专题03 指数与对数函数 【夯实双基】 一、指数与指数函数 1、次方根的定义：若，则称为的次方根． 2、两个等式：（1）当且时，；2） 3、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： ；； 4、实数指数幂的运算性质 ①．②． ③． 5、指数函数的图象及性质： 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 二、对数与对数函数 1、对数的概念：如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 2、对数（且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 3、对数的运算法则 已知，（且，、） （1） （2） （3） 4、对数公式 （1）对数恒等式： （2）换底公式：， 特别地：． 5、对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 三、函数的零点 1、函数的零点 （1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 2、函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. 3、二分法：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法． 【概念辨析】 （1）函数（且）的图象必过定点( ) （2）.( ) （3）已知，则不等式成立  ( ) （4）若则                           ( ) （5）在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是 （ ） （6），，在区间上的递减速度慢于递减速度 （ ） 【答案】（1）正确；（2）正确；（3）错误；（4）错误；（5）正确；（6）错误 【典例精讲】 考点1 指，对运算 题型一 指、对运算． 例1（1）（2022春·吉林长春·高一长春市第五中学校考期中）下列运算中正确的是（   ） A． B．当 C．若，则 D． 【答案】BD 【分析】根据对数以及指数幂的运算性质即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A; ,故A错误， 对于B; 当，故B正确， 对于C;由于，所以，，所以，故C错误， 对于D; ，故D正确，故选：BD （2）．（重庆市三峡名校联盟2022-2023学年高一上学期秋季联考数学试题）求的值为___________. 【答案】 【分析】由指数与对数的运算性质、对数恒等式、对数的换底公式进行运算即可. 【详解】原式 .故答案为：. 练习1．（1）（2021春·山东威海·高一山东省文登第一中学校考期末）__________. 【答案】 【分析】根据幂的运算法则和对数的运算法则计算． 【详解】原式．故答案为：． (2)．（2022春·吉林长春·高一长春市第五中学校考期中）______________. 【答案】 【分析】根据指数与对数的运算性质计算即可. 【详解】解： .故答案为：. 题型二、指对幂比较大小 例2．（1）（2022春·辽宁铁岭·高一昌图县第一高级中学校考阶段练习）设，，，则（    ） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b 【答案】B 【分析】构造对应的幂函数或指数函数，根据单调性判断大小. 【详解】 在第一象限内是增函数, ， 在R上是减函数， 故b＜a＜c故选：B （2）．（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先应用指对数转换求出,再转化成整数幂比较即可. 【详解】因为,所以, 即得得, 因为是上的增函数,比较的大小关系即是,的大小关系 , 同时取15次幂,因为幂函数在上是单调递增的，比较即可,因为 所以即,即得. 故选:. 练习2（1）．（2022·四川·高三统考对口高考）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．a＞b＞c 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合“媒介数”比较大小作答. 【详解】因，则，而， 又