第19期 2.4过不共线三点作圆&2.5直线与圆的位置关系（答案见20期）-【数理报】2022-2023学年九年级（中考）数学同步学案（湘教版）

书 １７．（１）连接 ＥＯ，设 ⊙Ｏ半径为 ｒ，因为 ＥＧ⊥ ＡＢ，所以ＣＥ＝ＣＧ＝１２ＥＧ ＝４，因为ＡＣ＝２，所以ＯＣ ＝ｒ－２，在Ｒｔ△ＣＥＯ中，由 勾股定理，得ＯＥ２＝ＣＥ２＋ ＯＣ２，即ｒ２＝４２＋（ｒ－２）２， 解得ｒ＝５，所以 ⊙Ｏ的半 径为５． （２）证明：连接 ＯＥ， ＯＦ，因为 ＡＣ＝ＢＤ，ＯＡ＝ ＯＢ，所以 ＯＣ＝ＯＤ，因为 ＥＧ⊥ ＡＢ，ＦＨ⊥ ＡＢ，所以 ∠ＯＣＥ＝∠ＯＤＦ＝９０°，在 Ｒｔ△ＣＯＥ和 Ｒｔ△ＤＯＦ中， ＯＣ＝ＯＤ， ＯＥ＝ＯＦ{ ， 所 以 Ｒｔ△ＣＯＥ ≌ Ｒｔ△ＤＯＦ（ＨＬ）， 所 以 ∠ＡＯＥ＝∠ＢＯＦ，所以 ) ＡＥ ) ＝ＢＦ． １８．（１）证明：连接 ＯＥ．在 △ＯＥＦ和 △ＯＥＢ 中， ＯＥ＝ＯＥ， ＥＦ＝ＥＢ， ＯＦ＝ＯＢ { ， 所 以 △ＯＥＦ≌△ＯＥＢ（ＳＳＳ），所 以∠ＯＦＥ＝∠ＯＢＥ，因为 ＯＢ＝ＯＤ，所以 ∠ＯＢＥ＝ ∠ＯＤＥ，所以 ∠ＯＦＥ ＝ ∠ＯＤＥ． （２）因为 ＡＢ是直径， 所以 ∠ＡＦＢ＝９０°，因为 ＥＦ⊥ ＢＥ，所以 ∠ＢＥＦ＝ ９０°，因为 ＥＦ＝ＥＢ，所以 ∠ＥＦＢ＝∠ＦＢＥ＝４５°，所 以∠ＥＦＡ＝∠ＥＦＢ＝４５°． 由 （１） 得 △ＯＥＦ ≌ △ＯＥＢ，所以 ∠ＯＥＦ ＝ ∠ＯＥＢ＝４５°，所以∠ＡＦＥ ＝∠ＯＥＦ＝４５°，所以 ＡＦ ∥ ＯＥ，因 为 ∠ＯＦＥ ＝ ∠ＯＤＥ，所以 ∠ＦＯＨ ＝ ∠ＤＥＦ＝９０°，因为 ＯＤ⊥ ＡＣ，所以 ∠ＡＨＯ＝∠ＡＨＤ ＝９０°，所以 ＦＯ∥ ＡＥ，所 以四边形 ＡＥＯＦ是平行四 边形，所以ＯＦ＝ＡＥ＝５， ＡＦ＝ＯＥ，因为ＥＨ＝１，所 以ＡＨ＝ＡＥ－ＥＨ＝４，所以 ＯＨ ＝ ＡＯ２－ＡＨ槡 ２ ＝ ５２－４槡 ２ ＝３，所以ＯＥ＝ ＯＨ２＋ＥＨ槡 ２ ＝ ３２＋１槡 ２ ＝ 槡１０，所以 ＡＦ＝ＯＥ＝槡１０． 上期４版 重点集训营 １．（１）∠Ｅ的度数为 书 结论１：如图１，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝ａ，ＡＣ ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，内切圆⊙Ｏ的半径为ｒ，Ｄ，Ｅ，Ｆ为切点，则 ｒ＝ １２（ａ＋ｂ－ｃ）． 证明：如图１，连接ＯＤ，ＯＥ，ＯＦ，则四边形ＣＤＯＥ为 正方形．所以ＣＤ＝ＯＥ＝ｒ． 由题意，易得ＡＦ＝ＡＥ，ＣＥ＝ＣＤ，ＢＦ＝ＢＤ． 所以ａ＋ｂ－ｃ＝（ＢＤ＋ＤＣ）＋（ＡＥ＋ＥＣ）－（ＡＦ ＋ＢＦ）＝２ＣＤ＝２ｒ． 所以ｒ＝ １２（ａ＋ｂ－ｃ）． 结论２：如图 ２，若 ⊙Ｏ为 △ＡＢＣ的内切圆，则 ∠ＡＯＢ＝９０°＋１２∠ＡＣＢ． 证明：因为⊙Ｏ为 △ＡＢＣ的内切圆， 所以∠１＝ １２∠ＣＡＢ，∠２＝ １ ２∠ＡＢＣ． 所以 ∠ＡＯＢ＝１８０°－（∠１＋∠２）＝１８０°－ １ ２（∠ＣＡＢ＋∠ＡＢＣ）＝１８０°－ １ ２（１８０°－∠ＡＣＢ）＝ ９０°＋１２∠ＡＣＢ． 结论３：如图３，在△ＡＢＣ中，内切圆⊙Ｏ和ＢＣ，ＡＣ， ＡＢ分别相切于点Ｅ，Ｆ，Ｄ，则∠ＦＤＥ＝９０°－１２∠ＡＣＢ． 证明：连接ＯＥ，ＯＦ，如图３，则ＯＦ⊥ＡＣ，ＯＥ⊥ＢＣ． 因为四边形ＣＦＯＥ的内角和为３６０°， 所以∠ＦＯＥ＋∠ＡＣＢ＝１８０°． 因为∠ＦＤＥ＝ １２∠ＦＯＥ， 所以∠ＦＤＥ＝９０°－１２∠ＡＣＢ． 结论４：如图４，△ＡＢＣ的三边长ＢＣ，ＡＣ，ＡＢ分别为 ａ，ｂ，ｃ，其面积为 Ｓ，内切圆 ⊙Ｉ的半径为 ｒ，则 ｒ＝ ２Ｓ ａ＋ｂ＋ｃ． 证明：如图４，连接ＩＡ，ＩＢ，ＩＣ． 因为Ｓ＝Ｓ△ＡＩＢ＋Ｓ△ＡＩＣ＋Ｓ△ＢＩＣ ＝ １ ２ＡＢ·ｒ＋ １ ２ＡＣ· ｒ＋１２ＣＢ·ｒ＝ １ ２（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ，所以ｒ＝ ２Ｓ ａ＋ｂ＋ｃ． 书 如图，半圆 Ｏ的直径 ＤＥ＝１２ｃｍ，在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∠ＡＣＢ＝９０°，∠ＡＢＣ＝ ３０°，ＢＣ＝１２ｃｍ．半圆Ｏ以２ｃｍ／ｓ的速度从左向右运 动，当圆心Ｏ运动到点Ｂ时停止，点Ｄ，Ｅ始终在直线ＢＣ 上．设运动时间为 ｔ（ｓ），运动开始时，半圆 Ｏ在 △ＡＢＣ 的左侧，ＯＣ＝８ｃｍ．当ｔ＝ 时，Ｒｔ△ＡＢＣ的一 边所在直线与半圆Ｏ所在的圆相切． 书 １．（２０２１天津）如图１，已知△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，ＡＢ ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝４２°，点Ｄ是⊙Ｏ上一点． （１）如图１－①，若ＢＤ为⊙Ｏ的直径，连接ＣＤ，求 ∠ＤＢＣ和∠ＡＣＤ的大小； （２）如图１－②，若 ＣＤ∥ ＢＡ，连接 ＡＤ，过点 Ｄ作 ⊙Ｏ的切线，与ＯＣ的延长线交于点Ｅ，求∠Ｅ的大小． ２．（２０２１大连）如图２－①，△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，直线 ＭＮ与⊙Ｏ相切于点Ｄ，ＯＤ与ＢＣ相交于点Ｅ，ＢＣ∥ＭＮ． （１）求证：∠ＢＡＣ＝∠ＤＯＣ； （２）如图２－②，若ＡＣ是⊙Ｏ的直径，Ｅ是ＯＤ的中 点，⊙Ｏ的半径为４，求ＡＥ的长． ３．（２０２１通辽）如图３，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，过点Ａ作 ⊙Ｏ的切线ＡＣ，点Ｐ是射线ＡＣ上的动点，连接Ｏ