满分阅卷案例（一）导数类考题（课件）-【创新教程】2023高考数学总复习大二轮（新教材）

导数类考题 第二部分 聚热点·题型突破 专题一 函数与导数、不等式 下一页 上一页 返回导航 第二部分 专题一 函数与导数、不等式 高考总复习 数学（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二部分 专题一 函数与导数、不等式 高考总复习 数学（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二部分 专题一 函数与导数、不等式 高考总复习 数学（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二部分 专题一 函数与导数、不等式 高考总复习 数学（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二部分 专题一 函数与导数、不等式 高考总复习 数学（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二部分 专题一 函数与导数、不等式 高考总复习 数学（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二部分 专题一 函数与导数、不等式 高考总复习 数学（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二部分 专题一 函数与导数、不等式 高考总复习 数学（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二部分 专题一 函数与导数、不等式 高考总复习 数学（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二部分 专题一 函数与导数、不等式 高考总复习 数学（新教材） 类题策略 函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论、不等式的证明等，是近几年高考试题的命题热点．对于这类综合问题，一般是先求导，再变形、分离或分解出基本函数，最后根据题意处理. 思维流程 [高考真题] (2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－ln x有相同的最小值． (1)求a； (2)证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． [规范解答]　(1)f(x)＝ex－ax的定义域为R，而f′(x)＝ex－a， 若a≤0，则f′(x)>0，此时f(x)无最小值，故a>0.①1分 当x<ln a时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，ln a)上为减函数， 当x>ln a时，f′(x)>0，故f(x)在(ln a，＋∞)上为增函数， 故f(x)min＝f(ln a)＝a－aln a．②2分 g(x)＝ax－ln x的定义域为(0，＋∞)，而g′(x)＝a－eq \f(1,x)＝eq \f(ax－1,x). 当0<x<eq \f(1,a)时，g′(x)<0，故g(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))上为减函数， 当x>eq \f(1,a)时，g′(x)>0，故g(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上为增函数， 故g(x)min＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝1－ln eq \f(1,a).3分 因为f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－ln x有相同的最小值， 故1－ln eq \f(1,a)＝a－aln a，整理得到eq \f(a－1,1＋a)＝ln a，其中a>0，4分 设g(a)＝eq \f(a－1,1＋a)－ln a，a>0，③ 则g′(a)＝eq \f(2,1＋a2)－eq \f(1,a)＝eq \f(－a2－1,a1＋a2)≤0， 故g(a)为(0，＋∞)上的减函数，而g(1)＝0，5分 故g(a)＝0的唯一解为a＝1， 综上，a＝1.6分 (2)由(1)可得f(x)＝ex－x和g(x)＝x－ln x的最小值为1.7分 当b≤1时，由(1)知直线y＝b与曲线y＝f(x)、y＝g(x)最多有两个不同的交点，则b>1.④8分 当直线y＝b与曲线y＝f(x)、y＝g(x)共有三个不同的交点时，设三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3， 则f(x1)＝f(x2)＝g(x2)＝g(x3)＝b，9分 ∵f(x)＝ex－x，g(x)＝x－ln x＝eln x－ln x＝f(ln x)，⑤ ∴f(x1)＝f(x2)＝f(ln x2)＝f(ln x3)，10分 由于x2≠x1，x2≠ln x2， ∴x2＝ln x3，x1＝ln x2， 则f(ln x2)＝－ln x2＝x2－ln x2＝x2－x1＝b， f(ln x3)＝－ln x3＝x3－ln x3＝x3－x2＝b，11分 上述两式相减得x1＋x3＝2x2， 即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.12分 关键步骤 ①分类：讨论a的各种情况 ②分解：分别求函数的最小值 ③分解：构