第5章 一元函数的导数及其应用 单元综合检测（难点）(练习)-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

第5章 一元函数的导数及其应用 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．已知函数，若的图象在点处切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，可求得、的值，即可求得结果. 【解析】因为，则，， 又，． 故选：D. 2．函数在上的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数分析函数在区间上的单调性，进而可求得函数在区间上的最大值. 【解析】，则，， 当时，则，解得； 当时，，解得. 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因此，函数在处取得极大值，亦即最大值，即. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值，考查计算能力，属于中等题. 3．若函数在区间上不是单调函数，则函数在R上的极小值为（    ）. A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性，求出b的范围，从而求出函数的单调区间，得到是函数的极小值即可． 【解析】解：， ∵函数在区间上不是单调函数， ， 由，解得：或， 由，解得：， 的极小值为， 故选：A. 【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题. 4．方程-lnx -2=0的根的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】令，利用导函数研究函数的单调性可知函数的单调区间，然后结合零点存在定理确定方程根的个数即可. 【解析】令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 且：，， ， 结合函数零点存在定理可知函数在上存在一个零点，在区间上存在一个零点， 方程-lnx -2=0的根的个数为2. 本题选择C选项. 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，函数零点存在定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．已知，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数研究分段函数的性质，作出函数图形，数形结合得到，然后结合一元二次方程根的分布即可求出结果. 【解析】因为时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，； 时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，； 作出在上的图象，如图： 关于x的方程有5个不同的实根， 令，则有两个不同的实根，所以， 令，则，解得， 故选：A. 【点睛】函数零点的求解与判断方法： （1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． （2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 6．已知点P在函数的图像上，点Q是在直线上，记，则（    ） A．M有最小值 B．当M取最小值时，点Q的横坐标是 C．M有最小值 D．当M取最小值时，点Q的横坐标是 【答案】D 【分析】先判定与直线平行且与的图像相切的直线的位置，切点到直线的距离即为M的最小值，再利用导数的几何意义求出切点坐标和M的最小值，再联立直线方程求出Q的横坐标. 【解析】将化为， 即直线l的斜率为， 因为，所以， 令，得， ∴当M最小时，点P的坐标为， 此时点P到直线的距离为， 所以M的最小值为； 过点P且垂直于的直线方程为， 联立，得， 即点Q的横坐标为. 故选D 7．已知函数，若方程有3个不同的实根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对求导，研究函数的单调性、极值等性质，利用的图象求得的范围，以及与的关系，将问题转化为关于的函数的值域的问题进行求解即可． 【解析】因为，故可得， 令，解得， 当或时，；时，， 故在单调递增，在单调递减，在单调递增． 则的极大值为，的极小值为， ∵， ∴当时，；当时，；当时，， 根据以上信息，作出的大致图象如图所示： 由图可知，直线与函数的图象有3个交点时，方程有3个不同的实根，则， 因为方程的3个不同的实根为，则， 又因为， 故， 令， 则，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，又，，故可得， 所以时，，即． 故选：A． 【点睛】方法点睛：已知方程根的个数，求参数的取值范围的常用方法： （1）直接法：直接根据题设条件列出关于参数的不等式，求解即可得出参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题进行求解； （3）数形结合法：对解析式适当变形，构造两个函数，在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图象，其交点的个数就是方程根的个数，然后数形结合求解．常见类型有两种：一种