5.3.2.2 函数的最大（小）值（课件）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

人教A版2019 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3.2.2 函数的最大（小）值 问题：求函数极值的一般方法是？ 提示： 解方程，当 时： （1）如果在附近的左侧 ，右侧，那么是极大值； （2）如果在附近的左侧 ，右侧 ，那么是极小值. 问题引入 函数的最大（小）值 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质. 如果是函数 y=f(x)的极大（小）值点，那么在附近找不到比更大（小）的值. 但是在解决实际问题或研究函数的性质时，往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小. 如果在某个区间上函数 y=f(x) 的最大（小）值点，那么不小（大）于函数 y=f(x)在此区间上的所有函数值 上图是函数 y=f(x)，的图象，你能找出它的极小值、极大值吗？ 提示：观察图象，可以发现， 是函数 y=f(x)的极小值， 是函数 y=f(x)的极大值. 探究 你能找出函数 y=f(x)在区间[a, b]上的最小值，最大值吗？ 提示： 从图可以看出 ，函数 y=f(x)在区间[a, b]上的最小值是 ，最大值是 f(a). 观察[a, b]上的函数 y=f(x)和 g=f(x)的图象， 它们在[a, b]上有最小值，最大值吗？ 如果有，最大值和最小值分别是什么？ 一般地，如果在区间[a, b]上的函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 结合上面两图 ，以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值. 例1 求函数在区间[0,3]上的最大值与最小值. 解： 由右图中例5可知，在[0,3]上， 当x=2时，函数有极小值，并且极小值为 . 又由于f(0)=4， f(3)=1， 所有，函数在区间[0,3]上的最大值是4，最小值是. 典型例题 例1中的结论可以从函数在区间[0,3]上的图象（左图）得到直观验证. 规律方法 一般地，求函数 y=f(x)在区间[a, b]上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数 y=f(x)在区间（a, b）上的极值； （2）将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)， f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 证明：当x>0时， 证明： 将不等式①转化为 设 ，那么 令，解得 x=1. x (0,1) 1 - 0 + s(x) 单调递减 0 单调递增 当x变化时，的变化情况如下表所示. 所以，当 x=1时，s(x)取得最小值.所以 即 所以，当 x>0时， 例2 给定函数 . （1）判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值； （2）画出函数f(x)的大致图象； （3）求出方程f(x)=a 的解的个数. 解： （1）函数的定义域为 . 令 ，解得 x=-2 . x -2 - 0 + f(x) 单调递减 单调递增 ， f(x) 的变化情况如下表所示. 所以， f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增. 当 x=-2时， f(x)有极小值 . 例2 给定函数 . （2）画出函数f(x)的大致图象； 解： （2）令 f(x)=0，解得 x=-1 . 当x<-1时， f(x)<0； 当 x>-1时， f(x)>0. 所以， f(x)的图象经过特殊点 当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长， 从而； 当时， , . 根据以上信息，我们画出 f(x)的大致图象如图所示. 例2 给定函数 . （3）求出方程f(x)=a 的解的个数. （3）方程f(x)=a 的解的个数为函数 y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数. 由（1）及右图可得， 当 x=-2时， f(x)有最小值 . 所以，关于方程 f(x)=a 的解的个数有如下结论： 当时，解为0个； 当 或 时，解为1个； 当时，解为2个. 解： 通常，可以按如下步骤画出函数 f(x)的大致图象： （1）求出函数 f(x)的定义域； （2）求导数 及函数 的零点； （3）用 的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值； （4）确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； （5）画出f(x)的大致图象. 规律方法 问题 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料