5.3.2.1 函数的极值（课件）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

人教A版2019 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3.2.1 函数的极值 问题： 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？ 问题引入 观察图5.3-9， 当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大. 那么，函数h(t)在此点的导数是多少呢？ 此点附近的图象有什么特点？ 相应地，导数的正负性有什么变化规律？ 放大t=a附近的函数 h(t)的图象，如图5.3-10.可以看出，；在t=a的附近， 当t<a时，函数 h(t)单调递增，； 当t>a时，函数 h(t)单调递减，. 在 t=a 附近，函数值先增后减. 这样当 t 在 a 的附近从小到大经过a时，先正后负，且连续变化，于是有. 探究 如图5.3-11， 函数 y=f(x) 在 x=a, b, c, d, e 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 ？ y=f(x) 在这些点的导数值是多少？ 在这些点附近，y=f(x) 的导数的正负性有什么规律？ 函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小，；而且在点 x=a 附近的左侧，右侧. 把 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值； 函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大，；而且在点x=b附近的左侧，右侧. 把 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点， f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质 思考： 极大值一定大于极小值吗？ 例 求函数的极值. 解： 因为 所以 . 令，解得 x=-2，或 x=2. 当 x 变化时，， f(x)的变化情况如下表所示. x -2 (-2,2) 2 + 0 - 0 + f (x) 单调递增 单调递减 单调递增 因此， 当 x=-2 时， f(x)有极大值，并且极大值为 当 x=2 时， f(x)有极小值，并且极小值为 函数的图象如图5.3-12所示. 思考 导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 提示： 导数值为 0 的点不一定是函数的极值点 例如，对于函数，我们有.虽然，但由于无论x>0，还是x<0，恒有，即函数 是增函数，所以0不是函数 的极值点 一般地，函数 y=f(x)在一点的导数值为0是函数 y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件. 一般地，可按如下方法求函数 y=f(x)的极值： 解方程，当 时： （1）如果在附近的左侧 ，右侧，那么是极大值； （2）如果在附近的左侧 ，右侧 ，那么是极小值. 归纳小结 题型一　极值的图象特征 [典例1]　已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x) (　　) A．在(－∞，0)上为减函数 B．在x＝0处取极小值 C．在(4，＋∞)上为减函数 D．在x＝2处取极大值 题型探究 [解析]　由导函数的图象可知：x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0；x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以函数f(x)在x＝0处取得极大值，x＝2处取得极小值，x＝4处取得极大值，因此选C. [答案]　C 解决函数极值与函数、导函数图象的关系问题时，应注意：(1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，图象在哪个点处与x轴相交，在交点附近导函数的值是怎样变化的； (2)对于函数的图象，重点考查函数在哪个区间上单调递增，在哪个区间上单调递减，哪个点是极大值点，哪个点是极小值点．　　 解析：观察函数y＝xf′(x)的图象可以发现， 当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0，于是f′(x)>0， 故函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，A正确； 当x∈(－1,0)时，xf′(x)>0，于是f′(x)<0， 当x∈(0,1)时，xf′(x)<0，于是f′(x)<0， 故函数f(x)在区间(－1,1)上是减函数，B、C错误； 由于f(x)在区间(0,1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，故D正确． 答案：AD　 题型二　运用导数解决函数的极值问题 [典例2]　(1)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处