专题1.9 线段的垂直平分线（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题1.9 线段的垂直平分线（知识讲解） 【学习目标】 1、 会准确说出线段垂直平分线性质定理及其逆定理，并用几何语言表达其性质； 2、 能运用线段垂直平分线的性质解决有关问题； 3、 能灵活应用性质定理及判定定理进行相关的解题训练. 【要点梳理】 知识要点一： 线段垂直平分线定理：线段的垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上的到这条线段两个端点的距离相等。 ①如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3是l上的点.试说明P1A= P1B. 证明：∵直线l⊥AB，∴∠P1CA=∠P1CB. 又CA=CB，P1C= P1C， ∴△P1CA≌△P1CB (SAS). ∴P1A= P1B. 几何语言叙述： ∵直线l垂直平分AB，P是直线l上任意一点; ∴PA=PB. 知识要点二： 线段垂直平分线判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 如图，在△PAB中，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？请证明这个结论？ 点P在线段AB的垂直平分线上 证明：作PC⊥AB，垂足为C，则∠ACP=∠BCP=90°， 在Rt△PAC和Rt△PBC中，PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL). ∴AC=BC. ∴PC是AB的垂直平分线， 即点P在线段AB的垂直平分线上. 线段垂直平分线性质的逆定理： 几何语言叙述： ∵PA=PB; ∴P点在AB的垂直平分线上. 【典型例题】 类型一、线段垂直平分线➽➼性质➽➼求角度✬✬求线段长✬✬证明 1．如图，在中，，点在上运动，点在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1) 判断与的位置关系，并说明理由； (2) 若，，，求线段的长． 【答案】(1)；理由见分析(2) 【分析】（1）根据，得出，根据垂直平分线的性质得出，得出，根据，得出，即可得出，即可得出答案； （2）连接，设，则，，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案． （1）解：；理由如下： ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，设，则，， ， ， ， 解得：， 则． 【点拨】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的两锐角互余，解题的关键是作出辅助线，熟记等边对等角． 举一反三： 【变式1】已知：如图，中，，点是内一点，且，连接并延长，交于点． (1) 请依题意作出一个符合题目要求的点，补全图形； (2) 求证：． 【分析】（1）根据题意作出图形即刻； （2）根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出A、E都在的垂直平分线上，从而得证． 解：（1）如图所示， （2）∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴点D在的垂直平分线上， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴． 【点拨】本题考查了到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线，熟记性质是解题的关键． 【变式2】如图，在中，，的平分线交于点E，沿将折叠后，C与边的中点D重合，若，求的长． 【答案】 【分析】连接，则，再证是等腰三角形，则，得到，即可得到答案． 解：连接，则， ∴，，， ∵D是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 所以的长为． 【点拨】此题考查了轴对称的性质、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键． 类型二、线段垂直平分线➽➼判定➽➼证明✬✬求角度✬✬求线段长 2．如图，已知，，与交于O，． 求证： (1) ； 点O在线段的垂直平分线上． 【分析】（1）根据可证明，由全等三角形的性质即可得出结论； （2）由全等三角形的性质可得，由等角对等边可得，进而可得结论． 解：（1）证明：∵，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边以及线段垂直平分线的判定，解答时证明是关键． 举一反三： 【变式1】如图，是的角平分线，，，垂足分别是，连接，与相交于点． (1) 求证：是的垂直平分线； (2) 若，四边形的面积，求的长． 【答案】(1)见分析 (2) 【分析】（1）先根据角平分线的性质得到，则证明得到，然后根据线段垂直平分线的判定定理得到结论； （2）四边形对角线垂直，利用四边形的面积等于对角线乘积的一半解题． 解：（1）证明：是的角平分线， ， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， 垂直，且平分， 即是的垂直平分线； （2）解：垂直， ，， ， ，， ， 答：． 【点拨】本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的判定，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学定理证明三角形全等． 【变式2】在中，，D为中点，