第22期 随机事件的条件概率-【数理报】新教材2022-2023学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版）

书 条件概率是重要的概型，对其判断主要依据题目的 “已知”、“在…前提下”等字眼，当然正确理解概念是 解题的关键．求条件概率一般有两种方法：一是对于古 典概型类题目，可采用基本事件总数的办法来计算， Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝ｎ（ＡＢ）ｎ（Ａ）；二是直接根据定义计算，Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ） Ｐ（Ａ），特别要注意Ｐ（ＡＢ）的求法． 下面具体剖析两例，供同学们学习时参考． 一、利用古典概型公式计算 条件概率Ｐ（Ｂ｜Ａ）与积（交）事件概率Ｐ（ＡＢ）的区别： Ｐ（ＡＢ）表示在基本事件空间Ω中，计算ＡＢ发生的 概率；而Ｐ（Ｂ｜Ａ）表示在缩小的基本事件空间ΩＡ中，计 算Ｂ发生的概率．用古典概型公式则有：Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝ ＡＢ中基本事件数 ΩＡ中基本事件数 ，Ｐ（ＡＢ）＝ＡＢ中基本事件数 Ω中基本事件数 ．一般地， Ｐ（Ｂ｜Ａ）要比Ｐ（ＡＢ）大． 例１一个盒子装有４件产品，其中３件一等品，１件 二等品，从中取产品两次，每次任取一件，作不放回抽 样．设事件Ａ为“第一次取到的是一等品”，事件Ｂ为“第 二次取到的是一等品”，试求条件概率Ｐ（Ｂ｜Ａ）． 解析：将产品编号，１，２，３号为一等品，４号为二等 品，以（ｉ，ｊ）表示第一次、第二次分别取到第 ｉ号、第 ｊ号 产品，则试验的基本事件空间为 Ω＝｛（１，２），（１，３），（１，４），（２，１），（２，３），（２，４）， （３，１），（３，２），（３，４），（４，１），（４，２），（４，３）｝． 可知事件Ａ有９个基本事件，ＡＢ有６个基本事件． 所以Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝ｎ（ＡＢ）ｎ（Ａ） ＝ ６ ９ ＝ ２ ３． 点评：本题的解法是求条件概率的常用方法，当基 本事件空间容易列出时，可考虑此法． 二、利用条件概率公式求解 条件概率的公式及变形主要有以下四个：对任意事 件Ａ和Ｂ，若Ｐ（Ａ）≠０，则“在事件Ａ发生的条件下Ｂ发 生的条件概率”记作Ｐ（Ｂ｜Ａ），定义为 Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）． ① 反过来可以用条件概率表示Ａ，Ｂ的乘积概率，即有 乘法公式，若Ｐ（Ａ）≠０，则 Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ｜Ａ）． ② 同样有，若Ｐ（Ｂ）≠０，则 Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ｜Ｂ）． ③ 若Ｂ和Ｃ是两个互斥事件，则有 Ｐ（Ｂ∪Ｃ｜Ａ）＝Ｐ（Ｂ｜Ａ）＋Ｐ（Ｃ｜Ａ）． ④ 例２某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他 随意拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求： （１）不超过３次拨号就接通电话的概率； （２）如果他记得号码的最后一位是奇数，拨号不超 过３次就接通电话的概率． 解析：设第ｉ次接通电话为事件Ａｉ（ｉ＝１，２，３），则Ａ＝ Ａ１∪（Ａ１Ａ２）∪（Ａ１Ａ２Ａ３）表示不超过３次就接通电话． （１）因为事件Ａ１与事件Ａ１Ａ２，Ａ１Ａ２Ａ３彼此互斥，所 以Ｐ（Ａ）＝ １１０＋ ９ １０× １ ９＋ ９ １０× ８ ９× １ ８ ＝ ３ １０． （２）用Ｂ表示最后一位是奇数号码的事件，则 Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝Ｐ（Ａ１｜Ｂ）＋Ｐ（Ａ１Ａ２｜Ｂ）＋Ｐ（Ａ１Ａ２Ａ３｜Ｂ） ＝ １５＋ ４×１ ５×４＋ ４×３×１ ５×４×３＝ ３ ５． 点评：由 于 Ａ１，Ａ１Ａ２，Ａ１Ａ２Ａ３ 彼 此 互 斥，所 以 Ａ１｜Ｂ，Ａ１Ａ２｜Ｂ，Ａ１Ａ２Ａ３｜Ｂ彼此互斥，所以可以利用概率 的加法公式来求概率． 书 题型一、全概率公式的应用 全概率公式的意义在于，当直接计算事件Ｂ发生的 概率Ｐ（Ｂ）较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一个 划分Ω＝Ａ１∪Ａ２∪…∪Ａｎ，Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ两两互斥，将 Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ看成是导致Ｂ发生的一组原因，这样事件Ｂ 就被分解成了 ｎ个部分，分别计算 Ｐ（Ｂ｜Ａ１）， Ｐ（Ｂ｜Ａ２），…，Ｐ（Ｂ｜Ａｎ），再利用全概率公式求解． 运用全概率公式计算事件Ｂ发生的概率 Ｐ（Ｂ）时， 一般步骤如下： （１）先求划分后的每个小事件的概率，即 Ｐ（Ａｉ），ｉ ＝１，２，…，ｎ； （２）再求每个小事件发生的条件下，事件Ｂ发生的 概率，即Ｐ（Ｂ｜Ａｉ），ｉ＝１，２，…，ｎ； （３）最后利用全概率公式计算 Ｐ（Ｂ），即 Ｐ（Ｂ）＝ ∑ ｎ ｉ＝１ Ｐ（Ａｉ）Ｐ（Ｂ｜Ａｉ）． 例１甲文具盒内有２支蓝色笔和３支黑色笔，乙文 具盒内也有２支蓝色笔和３支黑色笔．现从甲文具盒中 任取两支放人乙文具盒，然后从乙文具盒中任取两支， 求最后取出的两支笔都为黑色笔的概率． 解：记事件Ａｉ为从甲文具盒中取出放入乙文具盒中 的黑色笔数为ｉ，ｉ＝０，１，２． 记事件Ｂ为最后取出的两支笔都为黑色笔， 则Ｐ（Ａ０）＝ Ｃ２２ Ｃ２５ ＝ １１０，Ｐ（Ａ１）＝ Ｃ１２Ｃ １ ３ Ｃ２５ ＝ ３５， Ｐ（Ａ２）＝ Ｃ２３ Ｃ２５ ＝ ３１０． 而Ｐ（Ｂ｜Ａ０）＝ Ｃ２３ Ｃ２７ ＝ １７，Ｐ（Ｂ｜Ａ１）＝ Ｃ２４ Ｃ２７ ＝ ２７， Ｐ（Ｂ｜Ａ２）＝ Ｃ２５ Ｃ２７