第17期 计数原理-【数理报】新教材2022-2023学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版）

书 １．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证 明，有５位同学只会用综合法证明，有３位同学只会用 分析法证明，现任选一名同学证明这个问题，不同的选 法种数是 （　　） （Ａ）８　　 （Ｂ）１５　　 （Ｃ）１８　　 （Ｄ）３０ ２．某单位职工中，８人的血型为Ａ型，６人的血型为 Ｂ型，５人的血型为 ＡＢ型，现从中选一人参加献血活 动，不同的选法共有 （　　） （Ａ）１２种 （Ｂ）１５种 （Ｃ）１９种 （Ｄ）２４种 ３．已知ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ，其中ａ，ｂ∈｛０，１，２｝，则不同 的二次函数共有 （　　） （Ａ）３种 （Ｂ）６种 （Ｃ）９种 （Ｄ）１２种 ４．有三个盒子，分别装有不同编号的蓝色小球３ 个，白色小球５个，黑色小球４个．从中任意取出１个小 球，有 种不同的取法． ５．高二（１）班有２５名女生，４０名男生；高二（２）班 有男生和女生各３５人．现从高二（１）班的男生或高二 （２）班的女生中选出一名学生担任学生会干部，则有 种不同的选法． ６．某电脑用户计划使用不超过５００元的资金购买 单价分别为６０元、７０元的单片软件和Ｕ盘．根据需要， 软件至少买３片，Ｕ盘至少买２个，则不同的选购方式 共有多少种？ １．在不透明的袋子中有５个颜色不同的小球，两个 小朋友从中先后各摸出一个，则不同的结果有 （　　） （Ａ）１０个 （Ｂ）２０个 （Ｃ）２５个 （Ｄ）４９个 ２．某校科技大楼电子阅览室在第８层，从下一层到 上一层，每层均有２个楼梯，则由一楼上到电子阅览室 的不同走法共有 （　　） （Ａ）２９种 （Ｂ）２８种 （Ｃ）２７种 （Ｄ）８２种 ３．一只小老鼠跑到厨房偷食，在厨房的餐桌上有 三类食物：蔬菜、面食和水果，其中蔬菜５种，面食４种， 水果３种．小老鼠想每种都带，但由于能力有限，它只能 带走每类食物中的一种，则不同的带法共有 （　　） （Ａ）６０种 （Ｂ）２０种 （Ｃ）１２种 （Ｄ）３种 ４．４个人依次抓４个不同的阄，则有 种不 同的结果． ５．已知ａ∈｛０，３，５｝，ｂ∈｛１，２，６，８｝，ｃ∈｛－１，０， ３｝，则方程（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝ｃ２表示不同的圆的个 数是 ． ６．已知某学校的数学教师高一有９名，高二有１２ 名，高三有１４名．上级教育部门拟举行数学优质课评选 活动，假设每位教师参加的机会都是均等的． （１）若三个年级各选派１名教师参加，有多少种不 同的派法？ （２）若选派２名不同年级的教师参加，有多少种不 同的派法？ !"#$%&'()* 书 有关计数原理应用情景多样，思维要求比较高，问 题的答案同学们一直难以检验，经常导致一些错误，下 面结合实例，对常见的错因加以剖析并给出正解，以期 对同学们有所帮助． 一、忽视分步 例１５位同学站成一排准备照相的时候，有两位老 师碰巧路过，同学们强烈要求与老师合影留念，如果５位 同学顺序一定，那么两位老师与同学们站成一排照相的 站法总数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ）６　　　（Ｂ）２０ （Ｃ）３０ （Ｄ）４２ 错解：因为五位学生已经排好且顺序一定，故两位 老师站进去有６种选择．故选（Ａ）． 剖析：事实上，两位老师站成一排需分两步，第一步 先排第一位老师，第二步排第二位老师，以上解法中把 两位老师当成一位显然错误． 正解：因为五位学生已经排好，第一位老师站进去 有６种选择，当第一位老师站好后，第二位老师站进去有 ７种选择，所以两位老师与学生站成一排的站法共有６× ７＝４２种．故选（Ｄ）． 特别提醒：解决此类问题要注意观察能否一步完 成，若需要分步才能完成，一定要合理分步． 二、错把分步当分类 例２小明有１０本不同的数学书，９本不同的语文 书，８本不同的英语书，他要从中任取１本数学书，１本语 文书，１本英语书，有多少种不同的取法？ 错解：共有１０＋９＋８＝２７种不同的取法． 剖析：错解误认为只取１本书，而题目中要求取１本 数学书，１本语文书，１本英语书，共３本书，要完成的事 件需要分三步，应该使用分步乘法计数原理． 正解：分三步：第一步取数学书，有１０种不同的取 法；第二步取语文书，有９种不同的取法；第三步取英语 书，有８种不同的取法． 所以完成这件事共有１０×９×８＝７２０种不同的取法． 特别提醒：处理具体问题时，首先要弄清是“分类” 还是“分步”，简单地说“分类互斥”、“分步互依”，因此 在解题时，必须认真审题，搞清题目的条件、结论．还应 注意分类时不重复，无遗漏；分步时应合理设计步骤、顺 序，使各步互不干扰． 三、未分清分类和分步 例３体育场南侧有４个大门，北侧有３个大门，某学 生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有 （　　） （Ａ）１４种　　　（Ｂ）７种　　　（Ｃ）２４种　　　（Ｄ）４９种 错解：（Ｂ）　 学生进出体育场大门需分两类，一类 从南侧的４个门