第05讲 向量基本定理及坐标表示-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（苏教版2019必修第二册）

第05讲 向量基本定理及坐标表示 ( 目标导航 ) 课程标准 课标解读 ①理解平面向量基本定理及其意义。 ②借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。 ④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。 ⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件。 1.理解平面向量基本定理，了解向量的一组基底的含义，会用这组基底来表示其他向量； 2.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题； 3.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示； 4.掌握两个向量加、减运算、数乘运算的坐标表示； 5.理解用坐标表示的平面向量共线的条件，能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线. 6.掌握平面向量数量积的坐标表示，能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题。 ( 知识精讲 ) 知识点01 平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 3.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 【即学即练1】在四边形中，，若，且，则（    ） A． B．3 C． D．2 答案 D 解析： 如图，过作，又因为， 所以四边形是平行四边形， 所以 又因为， 所以, 又因为，所以， 所以,所以. 故选:D. 知识点02 平面向量的坐标表示 1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y). 2.在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0). 【即学即练2】已知点、，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 答案 A 解析： 设为坐标原点， , 整理得. 故选：A 知识点03 平面向量的坐标运算 1.平面向量加、减运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， （1）向量加法：两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和，即：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)。 （2）向量减法：两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差，即：a－b＝(x1－x2，y1－y2)。 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 2.平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3.平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0. 则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线. 4.平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝x1x2＋y1y2. (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)cos θ＝＝. 【即学即练3】已知三点在同一直线上，则实数的值是（    ） A． B． C． D．不确定 答案 C 解析： 由题得, 由 三点共线，可得 ，故 ， 故选：C ( 能力拓展 ) 考法01 数量积的坐标表示 【典例1】在平行四边形中，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 答案 A 解析： 因为，所以，从而，所以． 故选：A 考法02 向量夹角的坐标表示 【典例2】已知向量，，则点A到的距离为（    ） A． B．1 C． D． 答案 A 解析： 由题意得， 因为，所以， 又因为，所以点A到的距离为. 故选：A ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．已知正方形的边长为2，点满足，则的值为（    ） A． B． C． D．4 答案 D 解析： 建立坐标系如图，正方形的边长为2， 则， 点满足， 所以， 则， 故选：D． 2．已知向量，，则（    ） A． B．2 C． D． 答案 C 解析： ∵，，∴， ∴.