第04讲 向量的数量积-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（苏教版2019必修第二册）

第04讲 向量的数量积 ( 目标导航 ) 课程标准 课标解读 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。 2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义。 1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功. 2.掌握向量数量积的定义及投影向量. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直. 4.掌握向量数量积的运算律及常用的公式. ( 知识精讲 ) 知识点01 向量数量积的定义 1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示). 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 3.非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，4.规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 【即学即练1】给出以下结论，其中正确结论的个数是（    ） ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 解析： 由数量积的定义知， 对于①，若，则或，不一定成立，①错误 对于②，成立，②正确 对于③，与共线，与共线，两向量不一定相等，③错误 对于④，，④正确 故选：B 知识点02 向量数量积的几何意义 1.投影向量： 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. 2.几何意义：向量a与b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积。 【即学即练2】已知向量，在方向上的投影向量为，则（    ） A．4 B．8 C． D． 答案 C 解析： 由得，根据在方向上的投影向量为，可知在方向上的投影为，故根据数量积的几何意义，等于与在方向上的投影的乘积，故， 故选：C 知识点03 向量数量积的性质 1.设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 2.平面向量数量积的运算律 （1）a·b＝b·a(交换律). （2）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). （3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 【即学即练3】已知向量满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 答案 A 解析： 解：因为， 所以， 解得. 故选：A. ( 能力拓展 ) 考法01 向量夹角的计算 【典例1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 答案 A 解析： 因为，， 所以， 所以， 故选：A 考法02 垂直关系的向量表示 【典例2】已知平行四边形ABCD满足，，，，，（    ） A．6 B．10 C．14 D． 答案 C 解析： 由于，两边平方并化简得，所以， 所以 . 故选：C ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．已知，，，则与的夹角是（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 答案 C 解析： ， 因为， 所以， 与的夹角是120°. 故选：C 2．已知等边三角形，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 答案 A 解析： 因为等边三角形，故与的夹角为，与的夹角和与的夹角互补，为. 故选：A 3．在四边形中，，且，那么四边形ABCD为（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 答案 C 解析： 由，可得四边形ABCD是平行四边形． 由，， 所以，所以四边形ABCD为菱形． 故选：C 4．已知向量满足，则与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 答案 B 解析： 解：因为，所以， 设与的夹角为，则， 因为， 所以， 故选：B. 5．若平面向量､满足条件：､，则向量在向量的方向上的数量投影为___________. 答案 解析： 向量在向量的方向上的数量投影为.故答案为： 6．已知单位向量满足，则向量的夹角为______． 答案 解析： 解：已知为单位向量，则， ， ， 故答案为：. 7．已知在中，，，，为的中点，，交于，则_______ 答案 解析： 解：由题意得： ，即 故答案为： 8．已知，是夹角为的单位向量，设． (1)求； (2)求的最小值． 答案 (1)；