第03讲 向量的数乘-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（苏教版2019必修第二册）

第03讲 向量的数乘 ( 目标导航 ) 课程标准 课标解读 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义。理解两个平面向量共线的含义。 2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。 1.理解和掌握向量数乘的定义和向量数乘的几何意义； 2.能够熟练掌握和运用向量数乘的运算律； 3.能够理解和掌握共线向量定理，能够证明三点共线。 ( 知识精讲 ) 知识点01 向量数乘的定义及其几何意义 1.向量数乘的定义 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0；当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 2.向量数乘的几何意义 （1）当λ>0时，把向量a沿着向量a相同的方向放大或缩小。 （2）当λ<0时，把向量a沿着向量a相反的方向放大或缩小。 【即学即练1】如图，在平行四边形中，E是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 答案 C 解析： .故选：C 知识点02 向量数乘的运算律 1.(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 【即学即练2】的化简结果为（    ） A． B． C． D． 答案 B 解析： 由题意，. 故选：B. 知识点03 共线向量定理 1.向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 2.如果是三个不同的点，那么它们共线的充要条件是存在实数λ，使得。 ( 能力拓展 ) 考法01 有关向量的数乘运算 【典例1】下列各式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 答案 D 解析： 对于A，，故错误； 对于B，，故错误； 对于C，，故错误； 对于D，，故正确； 故选：D 考法02 向量数乘的混合运算 【典例2】下列各式计算正确的个数是（　　） ①；②；③. A．0 B．1 C．2 D．3 答案 C 解析： 根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数． 故选：C. ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．在平行四边形中，对角线与交于点，若，则（    ） A． B．2 C． D． 答案 B 解析： 在平行四边形中，，所以． 故选：B． 2．已知，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 答案 C 解析： 对于A:不存在实数 ，使得，故 三点不共线； 对于B: 不存在实数 ，使得，故 三点不共线； 对于C: ,故 ，所以三点共线； 对于D: 不存在实数 ，使得，故 三点不共线； 故选：C 3．在中，点D是的中点，则向量（    ） A． B． C． D． 答案 A 解析： . 故选：A 4．若，则__． 答案 1 解析： ， ， 又， ， ，解得，， ， 故答案为：1． 5．化简______. 答案 解析： . 故答案为:. 6．平行四边形的对角线交于O点，P为平面内任意一点，化简_____________． 答案 解析： 如图所示， ， 所 故答案为： 7．化简： (1) (2)   答案 (1)；(2) 解析： (1)原式＝ (2)原式＝ 题组B 能力提升练 1．已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 答案 D 解析： 因为，所以. 以GA、GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD交AB于点O.如图所示: 则，所以，CO是AB边上的中线，所以G点是△ABC的重心. 故选：D 2．与模长为13的向量平行的单位向量为（    ） A． B． C．或 D．或 答案 C 解析： 与模长为13的向量平行的单位向量为, 故选：C. 3．在中，是边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 答案 C 解析： 因为是边上的中点， 所以， 故选：C 4．（多选）在中，，记，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 答案 AC 解析： 解：因为，， 所以， 所以，. 故选：AC. 5．平行四边形中，，则__________. 答案 1 解析： 由题意知：，则，即，则. 故答案为：1. 6．若，则________． 答案 解析： 由可得，即, 可得，则， 故答案为： 7．设两个非零向