第03讲 平面向量的数量积-2022-2023学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第二册）

第03讲 平面向量的数量积 1．平面向量数量积的物理背景 物理中的功是一个与力及这个力作用下的物体产生的位移有关的量，并且这个量是一个标量，即： 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功，其中θ为力与位移之间的夹角．而力与位移都是矢量，这说明两个矢量也可以进行运算． 2．平面向量数量积的概念 （1）数量积的概念 已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(inner product)(或内积)，记作，即，其中是与的夹角． 我们规定，零向量与任一向量的数量积为0． （2）投影的概念 设非零向量与的夹角是，则()叫做向量在方向上(在方向上)的投影 (projection)．如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度． （3）数量积的几何意义 由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投 影的乘积． 3．平面向量数量积的性质与运算律 （1）平面向量数量积的性质 由向量数量积的定义，设都是非零向量，则有： ① ； ② 或； ③ 当与同向时，；当与反向时，； ④ ，其中是非零向量与的夹角； ⑤ ，当且仅当向量共线，即时等号成立． （2）平面向量数量积的运算律 由于数量积是完全不同于数与向量乘法的一种运算，并且这种运算涉及长度、角度等的运算，因此有如下三条运算律： 已知向量和实数，则 ① 交换律：； ② 数乘结合律：； ③ 分配律：． （3）两个结论 ①； ②． 考点1：平面向量的数量积运算 【例1】下列判断： ①，则；②已知是三个非零向量，若，则； ③共线；④；⑤； ⑥非零向量满足：，则与的夹角为锐角； ⑦若的夹角为，则表示向量在向量方向上的投影长． 其中正确的是 ． 【答案】①② 【解析】由于，所以若，则，故①正确； 若，则，又是三个非零向量，所以，所以，②正确； 共线，所以③错; 对于④，应有，所以④错; 对于⑤，应该是，所以⑤错； 当的夹角为0°时，也有，因此⑥错; 表示向量在向量方向上的投影，而非投影长，故⑦错．综上可知①②正确． 【例2】中，，，，为斜边的中点，则（ ） A．1 B．1 C．2 D．2 【答案】B 【解析】由题意是等边三角形，， 所以． 故选：B． 【例3】正三角形边长为，设，，则_____. 【答案】 【解析】因为，所以点是的中点，所以， 所以 ， 故答案为：. 求平面向量数量积的步骤 （1）求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]． （2）分别求|a|和|b|. （3）求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省略． 1．下面给出的关系式中正确的个数是（ ） ①；②；③；④；⑤. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】①错误，正确的是，向量数乘的结果还是向量. ②③正确，根据向量数量积运算可判断得出. ④错误，，故. ⑤错误，. 综上所述，正确的个数为，故选B. 2．如图，是边长为4的正方形，若，且为的中点，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】,, ,故选：C 3．已知，且，，，求的值. 【答案】. 【分析】 依题意可得，再根据平面向量数量积的运算律可得，同理求出，，即可得解； 【详解】 解：因为，所以，所以 可得：，故：. 同理可得，， 所以； 4．已知，，与的夹角是，计算： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用平面向量数量积的运算性质可计算得出的值； （2）由平面向量数量积的运算性质可计算得出的值. 【详解】 （1）； （2） . 考点2：与向量模有关的问题 【例4】已知，则（ ） A． B． C．13 D．21 【答案】A 【解析】依题意， ，. 所以.故选：A 【例5】已知向量，为平面内的单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量与共线，由共线定理可知，从而可将用向量，表示，平方后即可求出的最小值. 【详解】因为向量与共线，所以存在唯一的实数，使得，所以， 所以，又向量，为平面内的单位向量，所以，，又，所以， 所以，所以的最小值为.故选：D 求向量的模的常见思路及方法 1. 求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． 2. a·a＝a2＝|a|2或