27.3垂径定理（第1课时）（教学课件）-2022-2023学年九年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

2022-2023学年九年级数学下册同步精品课堂（沪教版） 第 27 章 圆与正多边形 27.3垂径定理（第1课时） 1 复习旧知 将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆 ，由此说明圆是 图形，对称轴是______________. 互相重合 轴对称 直径所在的直线 　将一张圆形纸片沿着直径所在的直线翻折， 问题1：能观察到什么？ 问题2：说明什么？ 直径两侧的两个半圆互相重合. 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴. · 如图 CD 是⊙O的直径， AB是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为M． （1）利用圆是轴对称图形的性质，你能发现图中有哪些相等 的线段和弧？ （2）你能用推理的方法来证明吗？ 证明：分别联结OA、OB. ∵OA=OB ，OM ⊥AB， 又∵CD是⊙O的直径， AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. ∴CAD=CBA，即AD+AC=BD=BC， ∴AM=BM； ∠AOD= ∠BOD，AD=BD， ∴AC=BC. · O A B C M D B C A M O . D 总结： 垂径定理： 如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦并且平分这条弦所对的弧。 CD为⊙O的直径 CD⊥AB 条件 结论 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AM=BM AC=BC AD=BD 结论中“平分弦所对的弧”包括弦所对的劣弧和优弧。 条件“圆的直径垂直于弦”也可表述为“圆的半径垂直于弦”或“圆心到弦的垂线段”，实质是指“一条过圆心的直线（或直线部分）与圆的一条弦具有垂直关系” 简述为：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的弧. 垂径定理的符号语言 ●O A B C D M└ CD⊥AB, ∵ CD过圆心, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD（垂径定理） 垂径定理的几个基本图形： CD过圆心 CD⊥AB于E AE=BE AC= BC AD= BD www.czsx.com.cn 下列图形是否具备垂径定理的条件？ 是 不是 是 不是 O E D C A B www.czsx.com.cn 例1 如图，已知，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点. 求证：AC=BD . 问1：大圆的弦AB 交小圆于C 、 D 两点的含义是什么？ 问2：这两个圆叫什么圆？ 同心圆 B D A O C CD是小圆的弦 典例1 例1 如图，已知，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点. 求证：AC=BD . 过圆心O作OH⊥AB，垂足为点H. 由垂径定理，得AH=BH, 同理:CH=DH, ∴AH-CH=BH-DH, 即AC=BD B D A O C H 证明： 37.4 7.2 例题2 石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m.求桥拱所在圆的半径长（精确到0.1m). R R-7.2 根据题意，画出图形 O A B D C 跨度指的是什么? 拱高指的是什么? 如何求半径? 典例2 例题2 石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m.求桥拱所在圆的半径长（精确到0.1m). 37.4 7.2 R R-7.2 O A B D C 解：如图，用弧AB表示桥拱，O为圆心，联结AB，过圆心O作半径OC垂直于弦AB，垂足为点D.根据垂经定理可知D是AB的中点，C是弧AB的中点，则CD是拱高。 由题意得AB=37.4米，CD=7.2米，得 在Rt△AOD中，由勾股定理得 设半径为R， 则OD=R-7.2. 解得 R≈27.9（m）. 答：赵州桥的桥拱半径约为27.9m. ●O A B C D 1.两条弦在圆心的同侧 ●O A B C D 2.两条弦在圆心的两侧 拓展一：⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=8，CD=6，则AB、CD间的距离是___ . 1cm 或7cm 13 www.qyxk.net 中学数学网（群英学科）收集提供 A B O E D 油的最大深度ED=OD－OE=200(mm) 或者油的最大深度ED=OD + OE=450(mm). (1) 拓展二：在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后,油面宽AB=600mm,求油的最大深度。 OE=125(mm) (2) B A O E D 解： 小结: 解决有关弦的问题，经常是过圆心