10第二章 第三节 一元二次方程及其应用-【智乐星中考·命题研究】2023年河北中考数学

精讲本 2023 河北 数学 1 第三节　一元二次方程及其应用 1．一元二次方程：等号两边都是_______，只含有_______个未知数(一元)， 并且未知数的最高次数是2(二次)的方程． 2．一般形式：_______________(a，b，c为常数，a≠0)．其中ax2，bx，c分 别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数． 知识点1 一元二次方程的有关概念 整式 一 ax2＋bx＋c＝0 2 知识点2 一元二次方程的解法 解法 基本形式 适用情况 注意事项 直接开 平方法 x2＝a(a≥0)或 (ax＋b)2＝c(c≥0) 方程缺少一次项时常用 开方不要漏掉负根 公式法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 任意一元二次方程 均适用，求根公式 为____________ 先将方程化为一般形式，再确定判别式b2－4ac≥0，最后利用求根公式求解 3 解法 基本形式 适用情况 注意事项 因式分 解法 (x－x1)(x－x2)＝0或 ax2＝bx ①将方程右边化为0，左边可以因式分解；②方程缺少常数项 两边不能同时除去含有未知数的相同因式 配方法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 变形为(x＋ )2＝ 将二次项系数化为1后，一次项系数为2的倍数 配方时，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，不要漏加 4 1．b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式． 判别式的符号决定了方程根的情况，即 (1)b2－4ac>0⇔方程有两个___________的实数根； (2)b2－4ac_____0⇔方程有两个相等的实数根； (3)b2－4ac<0⇔方程_________实数根． 2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2， 则x1＋x2＝－ ，x1x2＝ . 知识点3 一元二次方程根的判别式及根与,系数的关系 不相等 ＝ 没有 5 1．平均增长(下降)率问题：增长率＝ ×100%.设原来量为a， 平均增长(下降)率为x，则一次增长(下降)后的值为a(1±x)，两次增长 (下降)后的值为_________． 一元二次方程的应用 知识点4 a(1±x)2 6 2．面积问题常见图形归纳如下： (1)如图1，矩形ABCD的长为a，宽为b，空白部分的宽均为x，则阴影部分 的面积表示为__________________． (a－2x)(b－2x)　 7 (2)如图2，矩形ABCD的长为a，宽为b，阴影部分的宽均为x，则空白部分的面积为_________________． (a－x)(b－x) 8 (3)如图3，矩形ABCD的长为a，宽为b，阴影部分的宽均为x，则空白部分的面积为_________________． (a－x)(b－x) 9 3.购买问题中的“每每模型” 基本关系：总利润＝单件利润×数量． 成本每件a元，售价为m元时的销量是n件，售价每降低d元，则可多卖出 c件．设售价降 低了x元，则每件的利润为(m－x－a)元，销量增加 x件，销量变为 (n＋ x)件，则降价后的利润为w＝(m－x－a)(n＋ x)元. 10 解一元二次方程 (10年2考) 命题点1 (2021·河北三市联考)用因式分解法解一元二次方程x2－5x＝6， 下列是排乱的解题过程： ①x＋1＝0或x－6＝0，②x2－5x－6＝0， ③x1＝－1，x2＝6，④(x＋1)(x－6)＝0. (1)解题步骤正确的顺序是__________； (2)请用因式分解法解方程：(x＋3)(x－1)＝12. 11 【规范解答】 解：(1)∵x2－5x＝6，∴x2－5x－6＝0， ∴(x＋1)(x－6)＝0，则x＋1＝0或x－6＝0， 解得x1＝－1，x2＝6.故答案为②④①③. (2)∵(x＋3)(x－1)＝12，∴x2＋2x－15＝0， 则(x＋5)(x－3)＝0，∴x＋5＝0或x－3＝0， 解得x1＝－5，x2＝3. 12 方程20(x＋1)＝x(x＋1)的解为(　　) A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝－1 D．x1＝1，x2＝－1 D 13 一元二次方程根与系数的关系(10年0考) 命题点2 (2022·邢台模拟)若方程2x2＋x－2m＋1＝0有一正实根和一负 实根，则m的取值范围是________． 14 【方法点拨】求字母取值范围时的注意事项 对于二次项系数含有字母的方程，根据根的情况求字母的取值范围时，若指明是一元二次方程，则牢记二次项系数不为0这一条件；若未指明方程类型，则需分二次项系数为0和不为0两种情况讨论． 15 16 一元二次方程根的判别式(10年3考) 命题点3 (20