35微专题十 阴影部分面积的求法-【智乐星中考·命题研究】2023年河北中考数学

精讲本 2023 河北 数学 1 微专题十　阴影部分面积的求法 等积转换法 2 图形 转化后的图形 面积计算方法 S阴影＝S矩形ACDF S阴影＝S扇形BOC 当CD∥AB时， S阴影＝S扇形COD 3 (2022·秦皇岛一模)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∠CDB＝30°，CD＝2 ，则阴影部分的面积为(　　) A．4π B．2π C．π D. π 4 5 构造和差法 图形 转化后的图形 面积计算方法 S阴影＝S扇形BOE＋ S△OCE－S扇形COD S阴影＝S△ODC－ S扇形DOE 6 图形 转化后的图形 面积计算方法 S阴影＝S扇形AOB－ S△AOB S阴影＝S扇形AOC＋ S△OCB 7 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在以AB的中点O为坐标原点， AB所在的直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋 转，使点A旋转至y轴的正半轴上的点A′处．若AO＝OB＝2，则阴影部分 的面积为(　　) 8 9 直接和差法 图形 面积计算方法 S阴影＝S△ACB－S扇形CAD S阴影＝S△AOB－S扇形COD 10 图形 面积计算方法 S阴影＝S扇形EAF－S△ADE S阴影＝S扇形BAB′＋S半圆AB′－S半圆AB＝S扇形BAB′ S阴影＝S扇形之和＝ 11 (2022·河北模拟)如图，在⊙O中，AB为直径，M为BA延长线上一 点，MC与⊙O相切于点C，且MC＝BC＝3 .点D与点C关于直径所在的直 线MB对称．连接MD. (1)说明MD与⊙O有什么位置关系，并给出证明； (2)连接BD，求∠CBD的度数，通过计算比较 直径和劣弧 哪个更长； (3)求阴影部分的面积． 12 【规范解答】 (1)MD与⊙O的位置关系是相切．证明如下： 如图，连接OC，OD，CD. ∵MC与⊙O相切于点C，∴OC⊥MC，∴∠OCM＝90°. ∵点D与点C关于直径所在的直线MB对称， ∴点D在⊙O上，且MB垂直平分CD， ∴MD＝MC，OD＝OC. 13 14 (2)如图，连接AC.设∠OBC＝x. ∵CO＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝x， ∴∠COA＝∠OBC＋∠OCB＝2x. ∵MC＝BC，∴∠CMB＝∠OBC＝x. ∵∠OCM＝90°，∴∠COA＋∠CMB＝90°， 即x＋2x＝90°，解得x＝30°，∴∠COA＝60°. ∵△MCO≌△MDO，∴∠COA＝∠DOA＝60°， ∴∠COD＝120°，∴∠CBD＝60°. 15 16 点击进入Word版 17 如图，连接OD. ∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝eq \f(1,2)CD＝eq \r(3)，故S△OCE＝S△ODE， 即S阴影＝S扇形OBD. ∵∠CDB＝30°，∴∠BOD＝∠COB＝60°，OD＝2， ∴S扇形OBD＝eq \f(60π×22,360)＝eq \f(2π,3)，即阴影部分的面积为eq \f(2π,3). 故选D. A.eq \f(2,3)π B.eq \f(2,3)π－1 C.eq \f(4,3)π＋1 D.eq \f(4,3)π ∵∠ACB＝90°，OA＝OB＝2， ∴AB＝2OA＝4，AC＝BC＝eq \f(\r(2),2)AB＝2eq \r(2). ∵△ABC绕点B顺时针旋转，点A旋转至点A′处， ∴BA′＝AB＝4， ∴BA′＝2OB，∴∠OA′B＝30°，∴∠A′BA＝60°，即旋转角为60°， ∴S阴影＝S扇形ABA′＋S△A′BC′－S△ABC－S扇形CBC′＝S扇形ABA′－S扇形CBC′ ＝eq \f(60π×42,360)－eq \f(60π×（2\r(2)）2,360)＝eq \f(4,3)π.故选D. eq \o(CD,\s\up8(︵)) 在△ODM和△OCM中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OD＝OC，,MD＝MC，,OM＝OM，)) ∴△ODM≌△OCM(SSS)，∴∠ODM＝∠OCM＝90°， ∴OD⊥MD. ∵OD是⊙O的半径，∴MD与⊙O相切． 在Rt△MOC中，∠CMB＝30°，MC＝3eq \r(3)， ∴OC＝MC·tan 30°＝3eq \r(3)×eq \f(\r(3),3)＝3， ∴AB＝6，∴劣弧eq \o(CD,\s\up8(︵))的长为eq \f(120π×3,180)＝2π. ∵2π>6，∴直径和劣弧eq \o(CD,\s\up8(︵))比较，劣弧eq \o(CD,\s\up8(︵))更长． (3)S阴影＝S扇形BOC－S△BOC＋S△MOC－S扇形AOC ＝eq \f(120π×32,360)－3eq \r(3)×eq \f(3,2)×eq