33第六章 第三节 与切线有关的证明及计算-【智乐星中考·命题研究】2023年河北中考数学

精讲本 2023 河北 数学 1 第三节　与切线有关的证明及计算 1．切线的性质：圆的切线________过切点的半径． 2．切线的判定 (1)定义：和圆只有__________公共点的直线． (2)数量关系：圆心到直线的距离等于________的直线是圆的切线． (3)定理：经过半径的外端并且__________于这条半径的直线是圆的切线． 知识点1 切线的性质与判定 垂直于 一个 半径 垂直 2 1．切线长定义： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的 ____________． 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__________，这一点和圆 心的连线_________两条切线的夹角． 知识点2 切线长定理 图形 条件 结论 AB，AC与⊙O相切于点B，C AB＝AC， ∠1＝∠2 切线长 相等 平分 3 【解题策略】判断切线的方法 1. 圆心到直线的距离是否等于半径； 2. 直线与圆的交点个数是否是1； 3. “直线与圆有交点”，可能是相切或相交，“直线与圆相交”，位置关系只能是相交； 4. 若已知条件明确指出圆与直线有公共点，则“连半径，证垂直”；若没有明确指出，则“作垂直，证半径”． 与切线有关的证明及计算(10年7考) 4 考法❶　利用切线的性质计算 (2022·河北模拟)如图，DP是⊙O的切线，弦AB∥DP，连接BO并延长，与⊙O交于点C，与DP交于点E，连接AC，OD，点C是OE的中点，OD＝2. (1)求证：△ABC≌△DEO； (2)连接CD，OA，四边形ACDO的面积为________； (3)点Q是线段DE上的动点(点Q不与点D，E重合)． 在点Q运动过程中，连接CQ.若△CEQ的外心在该 三角形的边上，请直接写出EQ的长度． 5 【规范解答】 (1)证明：∵DP是⊙O的切线， ∴∠ODE＝90°.∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，BC＝2CO＝2OD ＝4，∴∠ODE＝∠BAC. ∵AB∥DP，∴∠ABC＝∠DEO. ∵点C是OE的中点，∴OE＝2OC＝4，∴BC＝EO， ∴△ABC≌△DEO(AAS)． (2)解：2 (3)解：EQ的长度为 或 . 6 1．(2022·秦皇岛一模)如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A，且∠CAD＝∠ABD. (1)求证：AE＝AF； (2)若AB＝4，BF＝5，求cos∠BAC的值． 7 (1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠AEF＝∠BEC＝90°－∠CBD. ∵AF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴∠BAF＝90°，∴∠F＝90°－∠ABD. ∵∠CAD＝∠CBD，∠CAD＝∠ABD，∴∠CBD＝∠ABD， ∴∠AEF＝∠F，∴AE＝AF. 8 9 10 11 【规范解答】 12 13 2．(2022·石家庄模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的半圆O与边BC相交于点D，DE⊥AB，垂足为E. (1)求证：点D是BC的中点； (2)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； (3)若⊙O的直径为18，BC＝12，求DE的长． 14 (1)证明：如图，连接AD. ∵AC为半圆O的直径，∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC. ∵AB＝AC，∴BD＝CD，即点D是BC的中点． (2)解：DE与⊙O相切 . 证明：如图，连接OD. ∵OA＝OC，BD＝CD， ∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AB. ∵AB⊥DE，∴OD⊥DE.又∵OD为⊙O的半径， ∴DE为⊙O的切线． 15 16 考法❸　判断直线与圆相切 (2021·河北三市联考)如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交 BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点 G，且满足AG∥BC，连接OC.若cos∠BAC＝ ，BC＝6. (1)求证：∠COD＝∠BAC； (2)求⊙O的半径OC； (3)求证：CF是⊙O的切线． 17 【规范解答】 (1)证明：∵AG是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，∴∠GAF＝90°. ∵AG∥BC，∴AE⊥BC，∴CE＝BE，∴∠BAC＝2∠EAC. ∵∠COD＝2∠CAE，∴∠COD＝∠BAC. 18 19 20 3．如图，正方形ABCD的边长为8，点M是AB的中点，点P是BC边上的动 点，连接PM，以点P为圆心，PM的长为半径作⊙P，当⊙P与正方形ABCD 的边相切时，BP的长为(　　) A．3 B．4 C．3或4 D．不确定 C 21 4．(2020·石家庄模拟)如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为