32微专题九 三角形的内心和外心-【智乐星中考·命题研究】2023年河北中考数学

精讲本 2023 河北 数学 1 微专题九　三角形的内心和外心 【基本图形】 三角形的内心 2 【模型分析】 条件：点O是△ABC的内心． 作法：连接OA，OB，OC，过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为 D，E，F. 结论：点O是△ABC角平分线的交点，OD＝OE＝OF，∠BOC＝90°＋ ∠BAC. 原理：三角形的内心为三角形内切圆的圆心． 3 (2022·河北模拟)如图，点B是△CDE的内心，AC＝CD， ∠ABC＝136°，则∠CED的值为(　　) A．88° B．68° C．90° D．92° 4 如图，连接BD. ∵点B是△CDE的内心，∴点B是△CDE三个内角的平分线的交点， ∴DB平分∠CDE，CB平分∠DCE， ∴∠BDC＝ ∠CDE，∠BCD＝∠BCA＝ ∠DCE， ∴∠BDC＋∠BCD＝ (∠CDE＋∠DCE)． ∵∠BDC＋∠BCD＝180°－∠DBC， ∠CDE＋∠DCE＝180°－∠CED， ∴180°－∠DBC＝ (180°－∠CED)， ∴∠CED＝2∠DBC－180°. 5 在△CBD和△CBA中， ∴△CBD≌△CBA(SAS)， ∴∠CBD＝∠ABC＝136°，∴∠CED＝2∠DBC－180°＝2×136°－180°＝92°.故选D. 6 【基本图形】 三角形的外心 7 【模型分析】 条件：点O是△ABC的外心． 作法：连接OA，OB，OC. 结论：OA＝OB＝OC，即点O是△ABC三边垂直平分线的交点，∠AOB＝2∠ACB. 原理：三角形的外心为三角形外接圆的圆心． 8 (2022·邢台二模)已知：互不重合的点B，D，C，F按图中顺序依次在同一条直线上，且BD＝CF，AB＝EF，∠B＝∠F＝70°，∠A为锐角． (1)求证：△ABC≌△EFD； (2)连接AD，AF.若AB＝AD，求证：AF与DE互相平分； (3)若△ABD的外心在其外部，连接CE.求∠ECF的取值范围． 9 【规范解答】 (1)证明：∵BD＝CF，∴BD＋CD＝CF＋CD， ∴BC＝DF. ∵AB＝EF，∠B＝∠F，∴△ABC≌△EFD(SAS)． (2)证明：如图，连接AE. ∵△ABC≌△EFD，AB＝EF. ∵AB＝AD，∴AD＝EF，∠B＝∠ADB. ∵∠B＝∠EFD，∴∠ADB＝∠EFD，∴AD∥EF， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∴AF与DE互相平分． 10 (3)解：如图，连接CE.∵∠B＝70°，∠A为锐角， ∴∠BAD<∠BAC<90°，∴∠BAD为锐角． ∵△ABD的外心在其外部，则△ABD是钝角三角形， ∴∠ADB＝180°－∠B －∠BAD， ∴90<∠ADB<110°. ∵AB＝EF，∠B＝∠EFD，BD＝CF， ∴△ABD≌△EFC(SAS)，∴∠ECF＝∠ADB， ∴90°<∠ECF<110°， ∴∠ECF的取值范围为90°<∠ECF<110°. 11 点击进入Word版 12 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝CA，,∠BCD＝∠BCA，,CB＝CB，)) $