16第三章 第五节 二次函数的综合及其应用-【智乐星中考·命题研究】2023年河北中考数学

精讲本 2023 河北 数学 1 第五节　二次函数的综合及其应用 【易错易混】 1．二次函数求最值时，注意自变量的取值范围和生活实际； 2．自变量必须是整数时，二次函数的最值并不一定是抛物线的最高点； 3．当自变量的取值范围在对称轴的同侧时，根据函数增减性进行判断，抛物线顶点一定不是所求的最值． 能力点1 二次函数的实际应用 (10年4考) 2 考法❶　纯文字型 (2020·河北)用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比，当x＝3时，W＝3. (1)求W与x的函数关系式； (2)如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗)．设薄板的厚度为x(厘米)， Q＝W厚－W薄． 3 ①求Q与x的函数关系式； ②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：(1)及(2)中的①不必写x的取值范围] 4 【规范解答】 解：(1)设W＝kx2(k≠0)．∵当x＝3时，W＝3，∴3＝9k，解得k＝ ， ∴W与x的函数关系式为W＝ x2. (2)①设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为(6－x)厘米， ∴Q＝W厚－W薄＝ (6－x)2－ x2＝－4x＋12， ∴Q与x的函数关系式为Q＝－4x＋12. ②∵Q是W薄的3倍，∴－4x＋12＝3· x2， 整理得x2＋4x－12＝0，解得x1＝2，x2＝－6(不合题意，舍去)， 故x为2厘米时，Q是W薄的3倍． 5 考法❷　与反比例函数结合 (2018·河北)轮滑场地的截面示意图如图所示，平台AB(水平) 距x轴18米，与y轴交于点B，与滑道y＝ (x≥1)交于点A，且AB＝1米．运 动员(看成点)在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是 下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：点M、点A的竖直距离h(米) 与飞出时间t(秒)的平方成正比，且t＝1时，h＝5；点M、点A的水平距离 是vt米． 6 (1)求k，并用t表示h； (2)设v＝5，用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x之间的函数关系式(不写x的取值范围)及当y＝13时，运动员与正下方滑道的竖直距离； (3)若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒，当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的取值范围． 7 【规范解答】 8 考法❸　与一次函数结合 (2012·河北)某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计)，这些薄板的形状均为正方形，边长(单位：cm)在～50之间．每张薄板的成本价(单位：元)与它的面积(单位：cm2)成正比例，每张薄板的出厂价(单位：元)由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据． 薄板的边长(单位：cm) 20 30 每张薄板的出厂价(单位：元) 50 70 9 (1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式； (2)已知出厂一张边长为40 cm的薄板，获得的利润是26元．(利润＝ 出厂价－成本价) ①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式； ②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？ [参考公式：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标是(－ ， )] 10 【规范解答】 11 12 1．(2017·河北)某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产，其中x>0.每件的售价为18万元，每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x(件)成反比．经市场调研发现，月需求量x与月份n(n为整数，1≤n≤12)符合关系式x＝2n2－2kn＋9(k＋3)(k为常数)，且得到了下表中的数据： 13 (1)求y与x满足的关系式，并请说明一件产品的利润能否是12万元； (2)求k的值，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损； (3)在这一年12个月中，若第m个月和第(m＋1)个月的利润相差最大，求m的值． 月份n 1 2 成本y/(万元/件) 11 12 月需求量x/件 120 100 14 15 (2)将n＝1，x＝120代入x＝2n2－2kn＋9(k＋3)得120＝2－2k＋9k＋27， 解得k＝13，∴x＝2n2－26n＋144. 将n＝2，x＝100代入x＝2n2－26n＋144，等式也成立， ∴k＝13. 令y＝6＋ ＝18，解得x＝50，∴50＝2n2－26n＋144， 即n2－13n＋47＝0. ∵Δ＝(－13)2－4×1×47＝－19<0