15第三章 第四节 二次函数的图象与性质-【智乐星中考·命题研究】2023年河北中考数学

精讲本 2023 河北 数学 1 第四节　二次函数的图象与性质 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．特别地，当a≠0，b＝c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式． 知识点1 二次函数的概念 2 1．根据二次函数的解析式判断函数的图象与性质 (1)利用图象判断函数的性质 知识点2 二次函数的图象与性质 对称轴 (1)直接利用公式x＝________求解 (2)直线x＝ (其中x1，x2为关于对称轴对称的两点的横坐标) 顶点坐标 (1)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为__________ (2)运用配方法将一般式转化为顶点式求解 (3)将对称轴的x值代入函数解析式求对应的y值 3 增减性(可画出草图判断) 当a＞0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大 当a＜0时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小 最值 a＞0时，当x＝－ 时， y有最小值，且y的最小值 为 a＜0时，当x＝－ 时， y有最大值，且y的最大值 为 4 (2)利用解析式判断函数的图象 a(决定开口方向) a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 a，b(决定对称轴的位置) b＝0 对称轴为_______轴 a，b同号 对称轴在y轴左侧 a，b异号 对称轴在y轴右侧 c(决定与y轴交点的位置) c＝0 抛物线过原点 c＞0 抛物线与y轴交于正半轴 c＜0 抛物线与y轴交于负半轴 b2－4ac (一元二次方程根的判别式) b2－4ac＝0 与x轴有唯一的交点(顶点) (对应一元二次方程有两个相等的实数根) b2－4ac＞0 与x轴有两个交点(对应一元二次方程有两个不 相等的实数根) b2－4ac＜0 与x轴没有交点(对应一元二次方程没有实数根) y 5 2.根据二次函数的图象判断相关结论 图象 结论 a________0， b________0， c＜0， b2－4ac＞0 a________0， b＝0， c＞0， b2－4ac_____0 a＞0， b______0， c______0， b2－4ac＞0 a＜0， b______0， c＜0， b2－4ac_____0 ＞ ＞ ＜ ＞ ＜ ＞ ＞ ＝ 6 图象 结论 a＞0， b______0， c＞0， b2－4ac_____0 a________0， b＞0， c________0， b2－4ac＞0 a________0， b________0， c＝0， b2－4ac＞0 a＞0， b________0， c＝0， b2－4ac_____0 ＞ ＜ ＞ ＝ ＜ ＞ ＝ ＝ 7 3.二次函数的图象与a，b，c的特殊关系 2a＋b 2a－b a＋b＋c a－b＋c 4a＋2b＋c 4a－2b＋c － 与 1比较 － 与 －1比较 令x＝ _______， 看纵坐标 令x＝ －1，看 纵坐标 令x＝2，看纵坐标 令x＝ ________， 看纵坐标 1 －2 8 1．平移的步骤：将抛物线的解析式转化成顶点式y＝a(x－h)2＋k，确定其顶点坐标，再保持抛物线的形状不变，平移其顶点坐标即可． 知识点3 二次函数图象的平移 9 2．平移的方法 10 1．确定二次函数解析式的方法主要是待定系数法．巧设二次函数解析式 有助于题目快速解决． 一般情况下，根据题设中给出的条件，可按以下方式设二次函数的解析式． (1)顶点在原点，可设为y＝ax2； (2)对称轴是y轴(或顶点在y轴上)，可设为______________； (3)顶点在x轴上，可设为y＝a(x－h)2； (4)抛物线过原点，可设为y＝ax2＋bx； 确定二次函数的解析式 知识点4 y＝ax2＋c　 11 (5)已知顶点(h，k)时，可设为顶点式__________________； (6)已知抛物线与x轴的两交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)时，可设 为交点式______________________； (7)当已知抛物线上的任意三点时，可设为一般式_________________， 然后列三元一次方程组求解． y＝a(x－h)2＋k　 y＝a(x－x1)(x－x2) y＝ax2＋bx＋c 12 2．根据图形变换确定二次函数的解析式 (1)将已知解析式化为顶点式y＝a(x－h)2＋k； (2)根据下表求出变化后的a，h，k； y＝a(x－h)2＋k a 顶点(h，k) 平移变换 不变 变 轴对称变换 x轴 相反数 (h，－k) y轴 不变 (－h，k) 旋转变换 绕顶点(180°) 相反数 (h，k) 绕原点(180°) 相反数 (－h，－