14第三章 第三节 反比例函数及其应用-【智乐星中考·命题研究】2023年河北中考数学

精讲本 2023 河北 数学 1 第三节　反比例函数及其应用 一般地，形如y＝ (k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数．其中 反比例函数的自变量x的取值范围是________的一切实数． 知识点1 反比例函数的概念 不等于0 2 知识点2 反比例函数的图象与性质 解 析 式 y＝ (k为常数，k≠0) k k_______0 k_______0 大致图象 ＞ ＜ 3 解 析 式 y＝ (k为常数，k≠0) 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每一个象限内，y随 x的增大而_________ 在每一个象限内，y随x的 增大而_________ 对称性 关于原点成中心对称，关于直线y＝±x成轴对称．如双曲线一支上的点A(a，b)关于原点的对称点A′(－a，－b)在该双曲线的另一支上 减小 增大 4 (1)如图，过反比例函数y＝ (k≠0)图象上的任一点P分别作x轴、 y轴的垂线PM，PN，所得矩形PMON的面积S＝|xy|＝________． 知识点3 反比例函数中k的几何意义 |k| 5 (2)反比例函数图象中有关图形的面积． S△AOP＝____ ＝____ (P，P1关于原点对称) S△ABC＝2S△AOC＝____ 2|k| |k| 6 1．方法：待定系数法(常常还会利用k的几何意义求解析式， 具体见知识点3)． 2．步骤 (1)设所求反比例函数的解析式为y＝ (k为常数，k≠0)； (2)找出满足反比例函数解析式的点P(a，b)； (3)将P(a，b)代入解析式得k＝ab； (4)确定反比例函数的解析式y＝ . 确定反比例函数的解析式 知识点4 7 反比例函数图象的判断(10年4考) 命题点1 (2017·河北)如图，若抛物线y＝－x2＋3与x轴围成的封闭区域 (边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例 函数y＝ (x＞0)的图象是(　　) 8 9 对于抛物线y＝－x2＋3，当y＝0时，解得x＝± .当x＝0时，y＝3，则抛 物线y＝－x2＋3与x轴围成的封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标 都是整数)为(－1，1)，(0，1)，(0，2)，(1，1)，共有4个，∴k＝4.故 选D. 10 (2022·河北)某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个 人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对(m，n)，在坐标 系中进行描点，则正确的是(　　) C 11 反比例函数的性质 (10年2考) 命题点2 已知反比例函数y＝ (k为常数，k≠1)． (1)与正比例函数结合，求k值：其图象与正比例函数y＝x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值； (2)与函数的增减性结合，求k的取值范围：若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围； (3)结合函数图象，由函数的大小，比较自变量的大小：若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小； (4)与矩形面积结合，求k值：若在其图象上任取一点，向x轴和y轴作垂线，若所得矩形面积为6，求k的值． 12 【规范解答】 解：(1)由题意可设点P的坐标为(m，2)． ∵点P在正比例函数y＝x的图象上，∴2＝m，即m＝2，∴点P的坐标为 (2，2)． ∵点P在反比例函数y＝ 的图象上，∴2＝ ，解得k＝5. (2)∵在反比例函数y＝ 图象的每一支上，y随x的增大而减小， ∴k－1＞0，解得k＞1. 13 (3)∵反比例函数y＝ 图象的一支位于第二象限， ∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大． ∵点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2，∴x1＞x2. (4)∵在其图象上任取一点，向两坐标轴作垂线，得到的矩形面积为6，∴|k－1|＝6，解得k＝7或－5. 14 确定反比例函数的解析式(10年0考) 命题点3 (2022·河北模拟)如图，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，点D(－2， 8)，正方形ABCD的中心为点M，点E，F，G，H分别在AD，AB，BC，CD边上， 且四边形EFGH是正方形．已知反比例函数y＝ (x＞0)的图象经过点M，H. (1)求反比例函数的解析式； (2)求图中阴影部分的面积． 15 【规范解答】 解：(1)∵正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，点D(－2，8)， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝8， OA＝2. 如图，过点M作MN⊥AB于点N. ∵正方形ABCD的中心为点M， ∴MN＝AN＝NB＝ AB＝4，∴ON＝AN－OA＝4－2＝2，