复习案07 等比数列-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

复习案07 等比数列 【知识回顾】 1.等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0). 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn. 常用结论： 1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比数列. 2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误. 4.三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3. 【重点题型剖析】 题型一 等比数列及其通项公式 一、单选题 1．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知数列满足：对任意的m，，都有，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·福建省永春第一中学高二阶段练习）已知数列的通项公式为，则数列是（    ） A．以1为首项，为公比的等比数列 B．以3为首项，为公比的等比数列 C．以1为首项，3为公比的等比数列 D．以3为首项，3为公比的等比数列 3．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）数列的前项和，则“”是“数列为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2022·上海金山·一模）已知角的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·安徽·六安二中高三阶段练习）若成等差数列；成等比数列，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（2022·山西·高三阶段练习）已知等比数列的前n项和为，若，则公比（    ） A．3 B．2 C．4 D．－3 7．（2022·陕西·延安北大培文学校高二阶段练习（理））在等比数列中，则（    ） A．16 B．16或－1 C．32 D．32或－32 二、多选题 8．（2022·山西·晋城市第二中学校高二阶段练习）在等比数列{}中，，则{}的公比可能为（    ） A． B． C．2 D．4 9．（2022·湖南·嘉禾县第六中学高二阶段练习）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为2的等差数列 三、填空题 10．（2022·贵州·高二学业考试）已知等比数列{}中，，则{}的公比q＝___． 11．（2022·北京·日坛中学高三阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，其前n项和为，前n项乘积为，则数列的通项公式=___________． 12．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知数列的前项和为，满足，则__________. 四、解答题 13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且（，且），为何值时，数列是等比数列. 14．（2022·上海宝山·一模）已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)写出的具体展开式，并求其值. 题型二 等比数列的性质 一、单选题 1．（2022·陕西渭南·高二期末（理））已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2022·江苏南京·高二阶段练习）若数列为等比数列，且是方程的两根，则的值等于（    ） A． B．1 C． D． 3．（2022·湖南长沙·高二阶段练习）已知等比数列，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．（2022·山东·临沂第四中学高二阶段练习）在等比数列中，且，则（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 5．（2023·山东济南