专题1.5 直角三角形（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题1.5 直角三角形（知识讲解） 【学习目标】 1.理角并掌握直角三角形的性质与判定； 2．灵活运用直角三角形的性质与判定进行证明与计算。 【要点梳理】 要点一、直角三角形的定义 三角形中，有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 特别说明： 如果直角三角形中，有一个锐角是45°这样的三角形是等腰直角三角形等，且两锐角都等于45° 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 特别说明： （1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 要点三、直角三角形的性质 （1） 直角三角形中两锐角互余. （2） 直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半. （3） 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°. （4） 勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方. （5） 勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. （6） 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 要点四、直角三角形的判定 (1) 有两内角互余的三角形是直角三角形. (2) 在三角形中，若一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.　　 (3) 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边. 【典型例题】 类型一、直角三角形➽➼两锐角互余➽➼证明✬✬求解 1． 如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E． (1) 若，，求的度数； (2) 当P点在线段上运动时，猜想与，的数量关系，并证明． 【答案】(1)(2)，理由见分析 【分析】（1）根据三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角互余计算即可． （2）根据三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角互余计算即可． 解：（1）因为，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． （2）． 理由如下：， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角，角的平分线的意义，熟练掌握三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角是解题的关键． 举一反三： 【变式1】 如图，在中，，平分，，垂足为D，交于点E． 求证：． 【答案】证明见分析 【分析】过点D作，交于点F，首先根据平行线的性质可得，，再根据等腰三角形的性质可证得，可得，根据角平分线的定义，可证得，可得，再根据，可得，，据此即可证得结论． 解：证明：如图，过点D作，交于点F． ，， ， ， ， ． 平分， ， ， ． ， ． ， ， ， ． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，作出辅助线是解决本题的关键． 【变式2】 在中，，，点D是边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点E处，连接，交于点F．当是直角三角形时，求度数． 【答案】或 【分析】根据折叠的性质可得，，再由直角三角形两锐角的关系可得，然后分两种情况讨论：当时，当时，结合三角形内角和定理，即可求解． 解：由折叠的性质得：，， ∵，， ∴， 当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，度数为或． 【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，图形的折叠，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 类型二、直角三角形➽➼全等性质✬✬HL综合证明➽➼证明✬✬求解 2． 如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD． 求证：（1）BC=AD； （2）△OAB是等腰三角形． 【分析】（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再由AC=BD，AB=BA，根据HL得出△ABC≌△BAD，即可证出BC=AD． （2）根据△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形． 解：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴△ABC与△BAD是直角三角形， 在△ABC和△BAD中，∵ AC=BD，AB=BA，∠ACB=∠BDA =90°， ∴△ABC≌△BAD（HL） ∴BC=AD． （2）∵△A