解答、创新限时练（七）（限时训练本）-2023教与学【中考必备】数学课件PPT

教与学 中考必备 教与学 中考必备 数学（限时训练本） 数 学 限时训练本 解答、创新限时练（七） 2 1.（9分）用承重指数W衡量水 平放置的长方体木板的最大承 重量.实验室有一些同材质同长 同宽而厚度不一的木板，实验 发现：木板承重指数W与木板厚 度x（cm）的平方成正比，当x＝3时，W＝3. （1）求W与x的函数关系式； （2）如图X23-1，选一块厚度为6 cm的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）.设薄板的厚度为a cm，Q＝W厚-W薄. ①求Q与a的函数关系式； ②当a为何值时，Q是W薄的3倍？[注：（1）及（2）中的①不必写自变量的取值范围] 解：（1）设W＝kx2（k≠0）. ∵当x＝3时，W＝3，∴3＝9k.解得k=. ∴W与x的函数关系式为W=x2. （2）①∵薄板的厚度为a cm，∴厚板的厚度为（6-a）cm. ∴Q＝W厚-W薄=（6-a）2－a2＝-4a+12. ∴Q与a的函数关系式为Q＝-4a+12. ②∵Q是W薄的3倍，∴-4a+12＝3×a2. 整理，得a2+4a-12＝0. 解得a1＝2，a2＝-6（不合题意，舍去）. ∴当a=2时，Q是W薄的3倍. 2.（9分）图X23-2①是 一种三角车位锁，其主 体部分是由两条长度相 等的钢条组成.当位于顶 端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图X23-2①的方式立在地面上，以阻止底盘高 度低于车位锁高度的汽车进入车位.图X23-2②是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50 cm，∠ABC＝47°. （1）求车位锁的底盒长BC； （2）若一辆汽车的底盘高度为30 cm，当车位锁上锁时，则这辆汽车能否进入该车位？ （参考数据：sin 47°≈0.73，cos 47°≈0.68，tan 47°≈1.07） 解：（1）如答图X23-1，过点A作AH⊥BC于点H. ∵AB＝AC，∴BH＝HC. 在Rt△ABH中，∠B＝47°，AB＝50 cm， ∴BH＝AB·cos B＝50×cos 47°≈50×0.68＝34（cm）. ∴BC＝2BH＝68(cm). ∴车位锁的底盒长BC为68 cm. （2）在Rt△ABH中，∠B=47°,AB=50 cm, ∴AH＝AB·sin B＝50×sin 47°≈50×0.73＝36.5(cm). ∵36.5＞30， ∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位. 3.（9分）如图X23-3，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b和反比例函数y=（x＞0）的图象相交于点A（8，2），与y轴交于点B（0，-2）. （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）C为线段AB上一点，作CD∥y轴与反 比例函数y=（x＞0）交于点D，当△BCD 的面积最大时，求点C的坐标. 解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（8，2），与y轴交于点B（0，-2）， ∴解得∴一次函数的解析式为y=x-2. ∵点A（8，2）在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴n＝8×2＝16. ∴反比例函数的解析式为y=（x>0）. （2）设C（n，n-2），则D（n，）. ∴CD=－n+2.∴S△BCD=n（－n+2）=－（n-2）2+9. ∴当n＝2时，△BCD的面积最大，此时，点C的坐标为（2，-1）. 4.（12分）（数学文化）（创新题） 古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一 切平面图形中最美的是圆”.波波决定 研究一下圆.如图X23-4，OA，OB是⊙O 的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连接AC并延长交⊙O于点D，过点D作圆的切线交OB的延长线于点E，已知OA=6. （1）求证：∠ECD=∠EDC； （2）若BC=2OC，求DE长； （3）当∠A从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积. （1）证明：如答图X23-2，连接OD. ∵DE是⊙O的切线，∴∠EDC+∠ODA=90°. ∵OA⊥OB，∴∠ACO+∠OAC=90°. ∵OA，OB是⊙O的两条半径，∴OA=OB. ∴∠ODA=∠OAC.∴∠EDC=∠ACO. 又∵∠ECD=∠ACO，∴∠ECD=∠EDC. （2）解：∵BC=2OC，OB=OA=6，∴OC=OB=2. 设DE=x.∵∠ECD=∠EDC，∴CE=DE=x.∴OE=OC+CE=2+x. ∵∠ODE=90°，∴OD2+DE2=OE2，即62+x2=（2+x）2.解得x=8.∴DE=8. （3）解：如答图X23-2，过点D作DF⊥AO交AO的延长线于点F. 当∠A=15°时，∠DOF=30°， ∴DF=OD=OA=3，∠DOA=150°. 则S弓形ABD=S扇形ODA-S△AOD=－ OA·DF=15π-×6