5.1 导数的概念及其意义（课时3 导数的几何意义）-2022-2023学年高二数学同步高效课堂重难点讲练课件（人教A版2019选择性必修第二册）

第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 榆次一中 数学教研组 1 课时3 导数的几何意义 2 学习目标 1.能够通过函数图象直观地理解导数的几何意义，培养学生的抽象思维能力和应用知识的能力.（数学抽象、直观想象） 2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．（数学运算） 3.了解导函数的概念．（数学抽象、数学运算） 返回至目录 3 自主预习·悟新知 合作探究·提素养 随堂检测·精评价 4 1.当 <m></m> 点向 <m></m> 点无限逼近时，割线 <m></m> 与曲线的位置关系是什么？ [答案] 当 点无限逼近 点时，此时直线 就是 点处的切线. 2.如果设曲线的方程为 <m></m> ，点 <m></m> 的坐标为 <m></m> ，那么曲线在点 <m></m> 处的切线的斜率是什么？ [答案] ． 预学忆思 自主预习·悟新知 YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL 返回至目录 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 函数在 处的导数 是一个常数．( ) √ （2） 函数 在 处的导数值就是曲线 在 处的切线的斜率．( ) √ （3） 若 不存在，则曲线 在点 处没有切线．( ) × 自学检测 返回至目录 6 2.已知曲线 上一点 ，则点 处的切线斜率为( ). A. B. C. D. C [解析] ， 即 . 返回至目录 7 3.函数 的图象如图所示，下列描述错误的是( ). D A. 处比 处变化快 B. 处呈上升趋势 C. 和 处增减趋势相反 D. 处呈上升趋势 [解析] 根据导数的几何意义知 ， ， ， ，故D错误，故选D. 返回至目录 8 探究1 导数的几何意义 设函数 ，在 上取两点 ， . 问题1：割线 <m></m> 的斜率 <m></m> 是什么？ [答案] 割线 的斜率 ． 情境设置 合作探究·提素养 YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL 返回至目录 9 问题2：当 <m></m> 无限趋近于点 <m></m> 时， <m></m> 与切线 <m></m> 的斜率 <m></m> 有什么关系？ [答案] 无限趋近于切线 的斜率 ． 问题3：如何求得过点 <m></m> 的切线 <m></m> 的斜率？ [答案] 函数 在 处的导数就是切线 的斜率 ，即 . 问题4：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个公共点？ [答案] 不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个公共点，和曲线只有一个公共点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线． 返回至目录 10 问题5：曲线 <m></m> 在点 <m></m> 处的切线与曲线过某点 <m></m> 的切线有何不同？ [答案] 曲线 在点 处的切线，点 一定是切点，只要求出 ，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线 过某点 的切线，给出的点 不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点． 返回至目录 11 新知生成 导数的几何意义 （1）切线的概念：如图，对于割线 ，当点 趋近于点 时，割线 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 称为点 处的切线. （2）导数的几何意义：函数 在 处的导数就是切线 的斜率 ，即 . 返回至目录 12 新知运用 例1 已知曲线 ． （1）求曲线在点 处的切线方程； （2）求曲线过点 的切线方程． [解析] （1） 在曲线 上， ∴曲线在点 处切线的斜率 ． ∴曲线在点 处的切线方程为 ，即 ． 返回至目录 13 （2）设曲线 与过点 的切线相切于点 ， 则切线的斜率 ， ∴切线方程为 ， 即 ． ∵点 在切线上， ，即 ． ， ， ， 解得 或 ． 故所求的切线方程为 或 ． 返回至目录 方法总结 求曲线在点 处的切线方程，即给出了切点 的坐标，求切线方程的步骤： ①求出函数 在点 处的导数 ； ②根据直线的点斜式方程，得切线方程为 . 要注意“过点 的切线”与“曲线在点 处的切线”的区别，若题中所给点 不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程． 返回至目录 15 1.求函数 <m></m> 的图象在点 <m></m> 处的切线方程. [解析] 因为 ， 所以所求切线的斜率为6， 因此，所求的切线方程为 ，即 巩固训练 返回至目录 16 2