5.1 导数的概念及其意义（课时2 导数的概念）-2022-2023学年高二数学同步高效课堂重难点讲练课件（人教A版2019选择性必修第二册）

第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 榆次一中 数学教研组 1 课时2 导数的概念 2 学习目标 1.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景.（数学抽象、数学运算） 2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.（数学抽象） 返回至目录 3 自主预习·悟新知 合作探究·提素养 随堂检测·精评价 4 1.某物体按 <m></m> 的规律运动，该物体在 <m></m> 内的平均速度是什么？在 <m></m> 时的瞬时速度是多少？ [答案] . 2.瞬时速度与平均速度有什么关系？ [答案] 平均速度只能粗略地描述物体的运动状态，并不能反映物体在某一时刻的瞬时速度.当时间间隔 趋近于0时，平均速度 就无限趋近于 时的瞬时速度. 3.根据瞬时速度的定义，想一想瞬时变化率是如何定义的. [答案] 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值. 预学忆思 自主预习·悟新知 YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL 返回至目录 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 函数在 处的导数反映了函数在区间 上变化的快慢程度.( ) × （2） 函数 在 处的导数值与 的正、负无关.( ) √ （3） 设 ，则 ，则 趋近于0时， 趋近于 ，因此， .( ) √ 自学检测 返回至目录 6 2.设函数 在点 附近有定义，且有 （ ， 为常数），则( ). A. B. C. D. C [解析] 因为 ， 所以选C. 3.设 ，则 _____. 2 [解析] . 返回至目录 7 探究1 平均变化率 某市2022年3月和4月某天日最高气温纪录如下表. 时间 3月18日 4月18日 4月20日 日最高气温 情境设置 合作探究·提素养 YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL 返回至目录 8 4月20日那天人们会惊呼“天气热得太快”. 问题：如何从数学的角度刻画气温“陡升”？ [答案] 3月18日至4月18日气温平均变化率是 ；4月18日至4月20日气温平均变化率是 ，显然4月18日至4月20日气温“陡升”. 返回至目录 9 新知生成 对于函数 ，设自变量 从 变化到 ，相应地，函数值 就从 变化到 .这时， 的变化量为 ， 的变化量为 .我们把比值 ，即 叫作函数 从 到 的平均变化率. 返回至目录 10 新知运用 例1 已知函数 <m></m> ，分别计算 <m></m> 在自变量 <m></m> 从1变到3和从1变到2时的平均变化率. [解析] 当自变量 从1变到3时，函数 的平均变化率为 ；当自变量 从1变到2时，函数 的平均变化率为 . 方法总结 求平均变化率的主要步骤： （1）先计算函数值的改变量 ； （2）再计算自变量的改变量 ； （3）得平均变化率 . 返回至目录 11 求函数 在区间 上的平均变化率，并求当 ， 时平均变化率的值. [解析] 函数 在区间 上的平均变化率为 . 当 ， 时，函数 在区间 上的平均变化率为 . 巩固训练 返回至目录 12 探究2 导数的概念 问题：函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？ [答案] （1）平均变化率与瞬时变化率的区别：平均变化率刻画函数值在区间 上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在 处变化的快慢. （2）平均变化率与瞬时变化率的联系：当 趋于0时，平均变化率 趋于一个常数，这个常数为函数在 处的瞬时变化率，它是一个固定值. 情境设置 返回至目录 13 新知生成 如果当 时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，那么称 在 处可导，并把这个确定的值叫作 在 处的导数（也称为瞬时变化率），记作 或 ，即 . 返回至目录 14 新知运用 例2 已知函数 <m></m> ，试求 <m></m> . 方法指导 先求 <m></m> ，然后求 <m></m> ，再求 <m></m> . [解析] 因为 ， 所以 ， 所以 . 返回至目录 15 方法总结 求函数 在 处的导数的步骤如下： （1）求函数值的变化量 ； （2）求平均变化率 ； （3）取极限，得导数 . 返回至目录 16 求函数 在 处的导数. [解析] 因为 ， 所以 . 因为 ， 所以 ， 即函数 在 处的导数为2. 巩