6.2 空间向量的坐标表示（九大题型）-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019选择性必修第二册）

6．2 空间向量的坐标表示 【题型归纳目录】 题型一：空间向量基本定理及其推论 题型二：用基底表示向量 题型三：空间向量基本定理的应用 题型四：空间直角坐标系及空间中点的坐标表示 题型五：空间向量的坐标表示及运算 题型六：空间向量平行的坐标表示及应用 题型七：空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示 题型八：空间两点间的距离公式及线段的中点坐标 题型九：利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题 【知识点梳理】 知识点一、空间向量基本定理及样关概念的理解 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得．其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底．此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式． 知识点二、空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示． 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点三、用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： （1）用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． （2）要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． （3）在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 知识点四、空间直角坐标系 1、空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面． 2、右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 3、空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组（x，y，z）来表示，有序数组（x，y，z）叫做点A的坐标，记作A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 知识点五、空间直角坐标系中点的坐标 1、空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标． 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为． 2、空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是； 点关于横轴（x轴）的对称点是； 点关于纵轴（y轴）的对称点是； 点关于竖轴（z轴）的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是． 知识点六、空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． ②， 或． 知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出． （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为． （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①； ②； ③； （4）向量数量积的坐标运算 若，则 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和． （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 （1）． （2）． 知识点诠释： ①夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 ②． ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）． （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直． 【典型例题】 题型一：空间向量基本定理及其推论 例1．（2022·广东·高二阶段练习）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A选项，不存在使得成立，故能构成空间的另一个基底； 对于B选项，，故不能构成空间的另一个基底； 对于C选项， ，故不能构成空间的另一个基底； 对于D选项，，故不能构成空间的另一个基底. 故选：A. 【方法技巧与总结】 基底的判断思路 （1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底． （2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 例2．（2022·河南洛阳·高二期中（理））若构成空间的一个基底，