6.1 空间向量及其运算（十一大题型）-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019选择性必修第二册）

6．1 空间向量及其运算 【题型归纳目录】 题型一：空间向量的概念 题型二：空间向量及其线性运算 题型三：共线向量（或平行向量） 题型四：空间向量的夹角 题型五：空间向量的数量积 题型六：空间向量的投影向量 题型七：共面向量 题型八：共面向量定理 题型九：空间四点共面的条件 题型十：利用空间向量的数量积求线段的长度 题型十一：利用空间向量的数量积证垂直 【知识点梳理】 知识点一：空间向量的有关概念 1、空间向量 （1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． （2）长度或模：空间向量的大小． （3）表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母表示；若向量的起点是，终点是，也可记作：，其模记为或． 知识点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量． 2、几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 的相反向量： 的相反向量： 相等向量 相同 相等 知识点二：空间向量的线性运算 （1）向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 减法 加法运算律 ①交换律： ②结合律： （2）空间向量的数乘运算 ①定义：实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与向量方向相同； 当时，与向量方向相反； 当时，；的长度是的长度的倍． ②运算律 结合律：． 分配律：，． 知识点诠释： （1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并； （2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 知识点三：共线问题 共线向量 （1）定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． （2）方向向量：在直线l上取非零向量，与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量，都有． （3）共线向量定理：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数使． （4）如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得． 知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题： （1）存在唯一实数，使得； （2）存在唯一实数，使得，则． 注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． （3）共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线． 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法．证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 知识点四：向量共面问题 共面向量 （1）定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． （2）共面向量定理：若两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． （3）空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对，使或对空间任意一点O，有． （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）． 知识点五：空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作．即． 规定：零向量与任何向量的数量积为． （2）常用结论（，为非零向量） ①． ②． ③． （3）数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 知识点诠释： （1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同． （2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． （3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆． 知识点六：利用数量积证明空间垂直关系 当时，． 知识点七：夹角问题 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则叫做向量与的夹角