第09讲 导数中的极值点偏移问题-2023年高考数学二轮高频考点透析与三年真题精练

第09讲 导数中的极值点偏移问题 一、课标要求： 本单元的学习，可以帮助学生通过丰富的实际背景理解导数的概念，希握导数的基本运算，运用导数研究函数的性质，并解决一些实际问题。 导数在研究函数中的应用 ①结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间。 ②借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值，体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系。 二、知识梳理 一、极值点偏移的含义 众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系： 若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.[ 如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏. 二、极值点偏移的判定定理 对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且， （1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏； （2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏. 证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极（小）大值点右（左）偏； （2）证明略. 左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏） 左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏） 三、极值点偏移问题的一般题设形式： 1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3. 若函数存在两个零点且，令，求证：； 4. 若函数中存在且满足，令，求证：. 三、查缺补漏 极值点偏移问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策，而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的. 其实，此类问题处理的手段有很多，方法也就有很多，下面我们来逐一探索！ 一、极值点偏移核心技巧之主元法 主元法破解极值点偏移问题大致分为以下三步： 第一步：求导，获得的单调性、极值情况，作出的图像，由得，的取值范围(数形结合)； 第二步：构造辅助函数(对结论(或<)，构造；对结论(或<)，构造，求导，限定范围(或的范围)，判定符号，获得不等式； 第三步：代入(或)，利用及的单调性证明最终结论． 例1．已知函数()． (1)求函数的单调区间和极值； (2)如果，且，求证：． 例2．已知函数有两个零点． (1)求函数的单调区间； (2)设，是的两个零点，证明：． 二、极值点偏移核心技巧之对数平均不等式对数平均不等式 对于正数，且，定义为，的对数平均值，且有，即几何平均数<对数平均数<算术平均数，简记为． 先给出对数平均不等式的多种证法． 证法一(对称化构造)设则，因此造函数，则．由，得，且在上单调递增，在上单调递减，为的极大值点．对数平均不等式，即，等价于这是两个常规的极值点偏移问题． 证法二(比值代换)令，则 构造函数可证． 证法三(主元法)设，则 ． 记，， 则，得在上单调递减， 有，左边得证，右边同理可证． 证法四(积分形式的柯西不等式)设，则由， 得，； 由，得，． 证法五(函数不等式) ①先证． 要证，只需证．令，只需证()． 设，则，所以在上单调递减，因此，即．故． ②再证． 要证，只需证． 令，则需证，即()． 设()，则．所以在区间上单调递减，因此，即，故. 综上可知，当，且时，. 对数平均不等式求解的步骤 (1)通过等式两边同取自然对数或相减等配凑出及； (2)通过等式两边同除以构造对数平均数； (3)利用对数平均不等式将转化为后，再证明(或). 例3．已知的两个零点是，求证：. 例4．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当，时，求证：. 三、一题多解多角度显套路 例5.已知.若有两个极值点，且.求证：.(e为自然对数的底数) 三年真题： 一、填空题 1．(2022年全国乙卷理科·第16题)已知和分别是函数(且)的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 二、解答题 2．(2021年高考全国乙卷理科·第20题)设函数，已知是函数的极值点．