《中学生数理化》高一数学2022年12月内文

■邵敏亚 诱导公式是三角恒等变换的重要公式之 一,它在三角函数解题中有着广泛的应用,让 我们登上“诱导公式应用直通车”看个究竟。 一、利用诱导公式求任意角的三角函数值 例1 计算:sin - 17π 6 +cos -20π3 + tan - 53π 6 = 。 解:sin - 17π 6 + cos -20π3 + tan - 53π 6 =-sinπ6+cos2π3-tan5π6= - 1 2- 1 2+ 3 3=-1+ 3 3 。 方法技巧:利用诱导公式求任意角的三 角函数值的四个步骤:负化正,用三角公式转 化;大化小,用三角公式将角化为0°到360°间 的角;小化锐,用三角公式将大于90°的角转 化为锐角;锐求值,得到锐角三角函数后求值 (有时得到0°~180°间的角也可求值)。 二、利用诱导公式解决条件求值问题 例2 若α是第四象限角,sin π3+α = - 2 5 ,则sin π6-α =( )。 A. 21 5 B.- 21 5 C.± 21 5 D. 7 5 解:由α是第四象限角得2kπ- π 2<α< 2kπk∈Z ,所以2kπ- π 6<α+ π 3<2kπ+ π 3 k∈Z , 所 以 cos π3+α = 1-sin2 π3+α = 1- -25 2 = 21 5 。 所 以sin π6-α =sin π2- π3+α = cosπ3+α = 215 。应选A。 方法技巧:解答这类问题的关键是:仔细 观察条件与所求式之间的角、函数名及有关 运算之间的差异与联系,将已知式进行变形 向所求式转化,或将所求式进行变形向已知 式转化。 三、利用诱导公式证明三角恒等式 例3 求证: 2sinθ- 3π 2 cosθ+π2 -1 1-2sin2(π+θ) = tan(9π+θ)+1 tan(π+θ)-1 。 证明:左边= 2sinθ+ π 2 -sinθ -1 1-2sin2θ = -2sinθcosθ-1 1-2sin2θ = -2sinθcosθ- sin2θ+cos2θ sin2θ+cos2θ-2sin2θ = - sinθ+cosθ 2 cosθ+sinθ cosθ-sinθ = sinθ+cosθ sinθ-cosθ 。 右边= tan(π+θ)+1 tan(π+θ)-1= tanθ+1 tanθ-1 = sinθ cosθ+1 sinθ cosθ-1 = sinθ+cosθ sinθ-cosθ 。 所以左边=右边,即原式成立。 方法技巧:在证明三角恒等式时,一般从 左边到右边,或从右边到左边,或左右归一, 总之,应遵循化繁为简的原则。证明三角恒 等式的五种常用方法:定义法,化弦法,拆项 拆角法,公式变形法,“1”的代换法。 作者单位:江苏省沙溪高级中学 (责任编辑 郭正华) 3 知识结构与拓展 高一数学 2022年12月 ■党顶尊 借助三角函数的定义推导出同角三角函 数关系,揭示了同角的正弦、余弦、正切之间 沟通的途径,凸显方程组观念下运用“平方与 商数”关系简化求解三角问题的思维方法。 考向1:sinα,cosα,tanα的“知一求二” 问题 例1 (1)已知sinθ= m-3 m+5 ,cosθ= 4-2m m+5 ,且θ∈ π2 ,π ,则 m 的取值集合为 。 (2)已知tanα= 3,π<α< 3π 2 ,那么 cosα-sinα的值是 。 利用平方关系与商数关系 求解。 (1)结合已知条件,利用sin2θ+cos2θ= 1,代入解得m=0或m=8。 当m=0时,sinθ=- 3 5 ,cosθ= 4 5 ,这 与已知条件矛盾;当 m=8时,sinθ= 5 13 , cosθ=- 12 13 ,符合题意。故m 的取值集合为 {8}。 (2)由题意可得 sinα cosα= 3 , sin2α+cos2α=1, 解得 sinα= 3 2 , cosα= 1 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 或 sinα=- 3 2 , cosα=- 1 2 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 因为π<α< 3π 2 ,所以 sinα=- 3 2 , cosα=- 1 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 所以 cosα-sinα= -1+ 3 2 。 感悟:同角关系的作用是“知一求二”,商 数关系 sinα cosα=tanα 实现角α的弦切互化,平 方关系sin2α+cos2α=1实现角α的正弦、余 弦的互化。当角α 所在的象限不明确时,要 进行分类讨论。 变式1:已知α∈ - π 2 ,π 2 ,且2(cos2α -sin2α)+