第4章第2节 导数与函数的单调性-(教师用书)2023版新高考数学艺术生总复习必备【名师大课堂】

线的斜率． (2)由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0). [注意]　“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．　 角度二　求切点坐标 若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________． 【解析】　设切点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝ln x＋1， 所以切线的斜率k＝ln x0＋1， 由题意知k＝2，得x0＝e，代入曲线方程得y0＝e. 故点P的坐标是(e，e). 【答案】　(e，e) 角度三　已知切线方程(或斜率)求参数值 (2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋x ln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　) A.a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1 C.a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1 【解析】　因为y′＝aex＋ln x＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，与切线方程y＝2x＋b对照，可得解得故选D. 【答案】　D [针对训练] 3．已知函数y＝x2与y＝ln x＋a的图象在交点处有公共的切线，则a＝(　　) A. B． C．1＋ D．1－ 【解析】　选A.函数y＝x2与y＝ln x＋a的导函数分别为y′＝2x，y′＝.设切点的横坐标为t(t>0)， 则解得a＝. 4．已知函数f(x)＝e2x，则过原点且与曲线y＝f(x)相切的直线方程为________． 【解析】　设切点坐标为(t，e2t)，∵f(x)＝e2x，∴f′(x)＝2e2x，f′(t)＝2e2t， 则曲线y＝f(x)在点(t，e2t)处的切线方程为y－e2t＝2e2t(x－t). 由于该直线过原点，故－e2t＝－2te2t，得t＝，则过原点且与曲线y＝f(x)相切的直线方程为y＝2ex，即2ex－y＝0. 【答案】　2ex－y＝0 5．(2019·福建泉州一模)若一直线与曲线y＝ln x和曲线x2＝ay(a>0)相切于同一点P，则a的值为________． 【解析】　设切点P(x0，y0)，由y＝ln x，得y′＝，由x2＝ay，得y′＝x， 则有解得a＝2e. 【答案】　2e 第二节　导数与函数的单调性 1．函数的单调性与导数的关系 条件 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)内单调递增 f′(x)<0 f(x)在(a，b)内单调递减 f′(x)＝0 f(x)在(a，b)内是常数函数 (1)解决一次、二次函数的单调性问题不必用导数． (2)有些初等函数(如f(x)＝x3＋x)的单调性问题也不必用导数． (3)利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号． (4)判断函数的单调性时，个别导数等于零的点不影响所在区间内的单调性． (5)对函数划分单调区间时，需确定导数等于零的点、函数的不连续点和不可导点．　 2．利用导数求函数单调区间的基本步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)由f′(x)>0(或<0)解出相应的x的取值范围． 当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间内是增函数； 当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间内是减函数． (1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件． (2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)不恒等于0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件．　 3．单调性的应用 若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调，则y＝f′(x)在该区间上不变号． (1)根据单调性求参数常用导数不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0求解，注意检验等号． (2)根据单调性求参数要注意函数、导函数的定义域．　 考点一　函数的单调性 (1)(2022·北京模拟)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递减区间是________． (2)已知函数f(x)＝－2(x＋a)ln x＋x2－2ax－2a2＋a，其中a>0.设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性． 【解析】　(1)因为f(x)＝(x－3)ex， 所以f′(x)＝(x－2)ex， 令f′(x)<0，解得：x<2， 故f(x)在(－∞，2)上单调递减． (2)由已知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， g(x)＝f′(x)＝2(x－a)－2ln x－2， 所以g′(x)＝2－＋＝. 当0<a<时，g(x)在区间， 上是增函数， 在区间，