复习案09 数列求和-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

复习案09 数列求和 【知识回顾】 1.公式法求和 (1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式：Sn＝ 2.倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解. 4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 5.分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. 常用结论： 1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝. 2.12＋22＋…＋n2＝. 3.裂项求和常用的三种变形 (1)＝－. (2)＝. (3)＝－. 4.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 【重点题型剖析】 题型一 公式法求和 一、解答题 1．（2022·湖南·嘉禾县第六中学高二阶段练习）已知公差为2的等差数列的前项和为，且满足. (1)若，，成等比数列，求的值； (2)设，求数列的前项和. 2．（2022·云南·昆明市官渡区艺卓中学高三阶段练习）已知数列的前项和，，． (1)证明数列为等比数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 3．（2022·山东济宁·高三期中）已知数列，且满足，有. (1)求数列的通项公式： (2)若，设数列的前项和为，试求和：. 4．（2022·上海市甘泉外国语中学高一期末）在等差数列中，，前12项的和. (1)求数列的通项公式； (2)若数列为以1为首项，3为公比的等比数列，求数列前8项的和. 5．（2022·江苏·沭阳县建陵高级中学高三期中）已知数列满足，，． (1)证明：数列为等比数列，求的通项公式． (2)若数列的前项和为，且恒成立，求实数的取值范围． 6．（2022·上海宝山·一模）已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)写出的具体展开式，并求其值. 7．（2022·湖北·襄阳市第一中学高二阶段练习）求解下列问题： (1)已知等差数列的前三项分别为，求该数列的通项公式； (2)已知是等差数列的前项和，，设为数列的前项和，求． 8．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高二期末）已知等差数列的公差为，前项和为，现给出下列三个条件：①成等比数列；②③，请你从这三个条件中任选两个解答下列问题： (1)求的通项公式； (2)令，其前项和为，若恒成立，求的最小值. 9．（2022·甘肃·高台县第一中学高二阶段练习）已知数列的前n项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求． 10．（2021·吉林·四平市第一高级中学高三阶段练习（文））已知等差数列的首项为，且. (1)求的通项公式及其前项和； (2)求数列的前项和. 11．（2022·四川·绵阳市开元中学高一期末（理））已知数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列前n项和，求n的值. 12．（2022·江苏·涟水县第一中学高三阶段练习）记为等差数列的前n项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值. 13．（2022·上海普陀·一模）设a、b均为正整数，为首项为a、公差为b的等差数列，为首项为b、公比为a的等比数列． (1)设t为正整数，当，，时，求的值； (2)若，且对于某项，存在，使得，试提出一个关于m、k的结论，并说明理由． 14．（2022·湖北省红安县第一中学高三阶段练习）已知数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前10项和.（用具体数值表示） 15．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））已知数列的前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 题型二 倒序相加法求和 一、解答题 1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数． (1)证明函数的图像关于点对称; (2)若，求； 2．（2022·全国·高三专题练习）设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为． (1)求证：点的纵坐标为定值； (2)若且求； 3．（2022·四川·成都市金牛区实外高级中学有限公司高一期中）已知，是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M为AB的中点，且M在直线上． (1)求的值及的值； (2)已知，当时，，求； (3)若在（2）的条件下，存在n使得对任意的x，不等式成立，求t的范围． 4．（2022·河北·模拟预测）已知函数满足，若数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围. 5．（2022·全