复习案06 等差数列-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

复习案06 等差数列 【知识回顾】 一、数列 1.数列的定义 按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项 间的大 小关系 递增数列 an＋1＞an 其中 n∈N* 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法. 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 5.数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 常用结论： 1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ 2.在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 二、等差数列 1.等差数列的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数). (2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b. 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝. 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列. (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列. 常用结论： 1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值. 3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列. 4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数). 【重点题型剖析】 题型一 等差数列及其通项公式 一、单选题 1．（2021·安徽·定远县育才学校高二期末（文））等差数列中，已知，，则公差d（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2022·安徽·石室中学高三阶段练习）如图，中国古代建筑的举架结构的纵截面示意图，其中的线段，，，都是竖直放置的，线段，，，都是水平放置的，且.令，，，若，，成公差为0.15的等差数列，且直线的斜率分别为0.75，0.45，则（    ） A．0.595 B．2.55 C．1.6 D．0.7225 3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知为递増等差数列，等比数列以为前两项且公比为3，若，则（    ） A．13 B．41 C．57 D．86 4．（2022·广西广西·高三阶段练习（文））已知数列满足：，当时，，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·河北·邯郸市永年区第二中学高二阶段练习）已知等差数列满足，则有（    ） A． B． C． D． 6．（2022·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（文））已知在等比数列中，，等差数列的前项和为，且，则（    ） A．96 B．102 C．118 D．126 7．（2022·山东·枣庄市第三中学高二阶段练习）等差数列的前项和为，若，则（    ） A．2020 B．1525 C．1515 D．2015 二、填空题 8．（上海市奉贤区2023届高三上学期一模数学试题）已知等差数列中，，则的值等于__________. 9．（2022·广东·高二阶段练习）已知是等差数列的前n项和，且，，则的公差______. 10．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知公差为且各项均为正数的等差数列的前项和为，且，则的最小值为__________. 11．（2022·贵州毕节·高三阶段练习（文））正项等差数列的前项和为，若，则的最大值为________． 12．（2022·安徽·六安二中高三阶段