专题1.4 幂的乘方与积的乘方（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题1.4 幂的乘方与积的乘方（知识讲解） 【学习目标】 1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）； 2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算. 【要点梳理】 要点一、幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 特别说明：（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点二、积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 特别说明：（1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 要点三、注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【典型例题】 类型一、幂的乘法与积的乘方➽➼幂的乘方运算 1．计算： (1) ； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先运用积的乘方将括号内的幂的乘方进行化简，再进行同底数幂的乘除法运算即可； （2）先将括号内的算式看做一个整体，运用同底数幂的乘除法运算法则进行化简即可． （1）解： ； （2）解： ； 【点拨】本题考查幂的运算，能够运用整体思想简化运算过程是解决本题的关键． 举一反三： 【变式1】化简： 【答案】 【分析】先根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法进行化简，再合并同类项即可； 解：原式= = = 【点拨】本题主要考查幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法以及合并同类项，掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式2】计算： (1) ； (2) ． 【答案】(1)0； (2)． 【分析】(1)利用同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则即可求解； (2)利用积的乘方法则、同底数幂的乘法法则即可求解． 解：（1）原式= ； （2）原式= ． 【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，合并同类项，熟练掌握相应的计算法则是解题的关键． 类型二、幂的乘法与积的乘方➽➼幂的乘方运算逆运算 2．已知，，求： (1) ； (2) ．（结果用含a，b的代数式表示） 【答案】(1) ； (2) 【分析】（1）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可； （2）利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【点拨】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 举一反三： 【变式】（1）； （2） 【答案】（1）0；（2） 【分析】（1）首先把化成，再根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算即可；（2）可化成，1.5可以化作，再根据，负数的偶次幂为正计算即可． 解：（1）原式 （2）原式 【点拨】本题考查了同底数幂，乘方的运算，仔细观察题目，化简底数是解题的关键． 类型三、幂的乘法与积的乘方➽➼积的乘方运算 3．（1）若，求的值． （2）若，求、的值． 【答案】（1）8  （2）n＝3，m＝4 【分析】（1）根据同底数幂乘法的计算法则可以得到，则4n＋3＝35，由此求解即可； （2）根据积的乘方和同底数幂乘法的计算法则可得，则3 n＝9且3m＋3＝15，由此求解即可． 解：（1）∵， ∴， ∴4n＋3＝35， ∴n＝8； （2）∵， ∴ ， ∴3 n＝9，3m＋3＝15， ∴n＝3，m＝4． 【点拨】本题主要考查了同底数幂乘法，积的乘方，解一元一次方程，熟知同底数幂乘法和积的乘方计算法则是解题的关键． 举一反三： 【变式1】计算 (1) ； (2) ； (2) ； (4) ； (5)； 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【分析】（1）由题意利用幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可； （2）由题意利用幂的乘方和积的乘方以及合并同类项原则进行计算即可； （3）由题意直接利用同底数幂的乘法进行计算即可； （4）由题意直接利用同底数幂的乘法进行计算即可； （5）由题意利用幂的乘方和积的乘