第六章 平面向量及其应用 本章小结-【数学一起课件】高中数学必修第二册同步PPT课件（人教A版2019）

第六章 平面向量及其应用 人教版高中数学必修第二册（A版） 讲课老师：XXX 本章小结 高中 数学 本章知识结构梳理 实际背景 向量的概念 向量的运算及其几何意义 向量的加、减运算及其几何意义 向量的数乘运算及其几何意义 向量的数量积及其几何意义 平面向量基本定理及坐标表示 平面向量的应用 本章知识结构梳理 空间中的向量及其运算 实数及其运算 平面上的向量及其运算 直线上的向量及其运算 复数及其运算 力 有向线段 类比 推广 特殊化 类比 类比 平面向量的延伸应用 01 平面向量的线性运算 平面向量的线性运算 1 平面向量的线性运算 向量的加法运算 向量的减法运算 向量的数乘运算 方法 三角形法则 平行四边形法则 运算律 交换律 相反向量 运算律 共线定理 分配律 存在唯一一个实数，使 结合律 “首尾相连” “共起点，连对角” 方法 三角形法则 平行四边形法则 “共起点，连终点，指被减” 共起点，连终点，指被减 巩固练习 2 例1 如图，梯形中， ，点分别是的中点，且，设，，以，为基底表示向量，，。 解： ∵ ，且 ，∴ ∵ ， ∴ 又 ∵ 且 ， ∴ 巩固练习 2 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算。向量的线性运算的结果仍是一个向量。因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面。 基本原则 解题方法 ①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧。 ②字符表示下的线性运算的常用技巧： 首尾相接用加法的三角形法则，如；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如. 巩固练习 2 1. 如图，在中，，是上的一点，若 ，则实数 的值为 解： 设 ， 则 ∵ 和共线，∴ ∴ 【跟踪训练1】 02 平面向量的数量积 平面向量的数量积 1 向量的数量积 向量的夹角 向量的数量积 定义 与同向 向量数量积的性质 向量数量积的运算律 投影与投影向量 与反向 与垂直，记作 巩固练习 2 例2 已知点，，，，则向量在方向上的投影为（ ） A. B. C. D. 【解析】 ∵ ， 向量 在 上的投影为 巩固练习 2 例3 在中，是边上的高，若，则实数 等于（ ） A. B. C. D. 【解析】 ∵ ，∴ ， 又是边上的高，∴ 即 ，∴ 整理可得 ，即 巩固练习 2 例4 已知平面向量 ，满足 ，且，则向量 与向量 的夹角余弦值为（ ） A. B. C. D. 【解析】 ∵ 平面向量，满足 ，且， ∴ ， 解得 巩固练习 2 解题方法 ①利用数量积的定义、运算律求解： 在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即，，上述两公式以及这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用。 巩固练习 2 ③借助平行向量与垂直向量： 即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助，则等解决问题。 ④建立坐标系，利用坐标运算求解数量积。 解题方法 ②借助零向量： 即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积。 巩固练习 2 2. 已知向量满足，，则（ ） 解： 【跟踪训练2】 A. B. C. D. 巩固练习 2 3. 已知，，则 与 的夹角为 解： 根据已知条件 ， 得 ， 所以 ，， 所以 巩固练习 2 4. 已知正方形的面积为 ， 点 在边 上 ，则的最大值为多少？ 解： 如图，建立平面直角坐标系，由题意得， ，，设 ∴ ∴ ， 当或时， 03 平面向量的坐标运算 平面向量的坐标运算 1 平面向量加法的坐标运算 平面向量减法的坐标运算 平面向量数乘的坐标运算 平面向量数量积的坐标运算 若 平面向量的坐标运算 1 向量共线的充要条件 向量垂直的充要条件 向量夹角公式的 坐标表示 向量的模的坐标表示 若 巩固练习 2 例5 已知向量，，，且，则， 分别为（ ） 【解析】 ∵ ，， ∴， ∴ ， ，所以， ，解得 A. B. C. D. 巩固练习 2 例6 设向量，，若，则 . 【解析】 ∵ ，， ∴ ， 由，得 ∴ 即 巩固练习 2 5. 已知向量 ，，若，则 （ ） 【跟踪训练3】 A. B. C. D. 【解析】 ∵ ， ， 且 ， ∴， 解得 巩固练习 2 6. 已知向量 ，，若，则实数 （ ） A. B. C. D. 【解析】 由 ，，可得 ， 因为 ， 所以 ， 解得 巩固练习 2 7. 已知向量 ，且， 与 的夹角为 ，， 。 （1）求证：； （2）若 ，求