6.4.3 余弦定理、正弦定理(第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例)-【数学一起课件】高中数学必修第二册同步PPT课件（人教A版2019）

第六章 平面向量及其应用 人教版高中数学必修第二册（A版） 讲课老师：XXX 6.4.3 余弦定理、正弦定理 （第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例） 高中 数学 知识回顾 正弦定理 正弦定理 解三角形 已知两角和任一边，求其他的边和角 已知两边和其中一边的对角，求其他边和角 边角互相转化 学习目标 进一步熟悉余弦定理、正弦定理； 了解常用的测量相关术语； 能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题。 情景导入 问题 在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，但是没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。那么运用正弦定理、余弦定理能否解决这些问题？又怎么解决？ 01 余弦定理、正弦定理应用举例 实际测量中的有关名称、术语 1 【定义】 基线 在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线。 【定义】 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角。 【定义】 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角。 【图示】 【图示】 铅垂线 视线 水平线 仰角 铅垂线 视线 水平线 俯角 实际测量中的有关名称、术语 1 【定义】 方向角 从正北或正南方向到目标方向所形成的小于九十度的角。 【定义】 方位角 从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。 【图示】 【图示】 目标方向线 西 北 南 南偏西 (指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角) 北 目标方向线 测量距离的问题 2 例9 如图，两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间距离的方法，并求出间的距离。 【分析】 若测量者在 两点的对岸取定一点(称作测量基点），则在点 处只能测出 的大小，因而无法解决问题。为此，可以再取一点 ，测出线段 的长，以及，这样就可借助正弦定理和余弦定理算出距离了。 测量距离的问题 2 解： 如图，在两点的对岸选定两点，测得，并且在两点分别测得， . 在和中，由正弦定理，得 于是，在中，由余弦定理可得两点间的距离 测量距离的问题 2 在上述测量方案下，还有其他计算两点间距离的方法吗？ 思考 【分析】 先求，的长度，进而在三角形中，求间的距离。 可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式. 测量距离的问题 2 如下图，早在1671年，两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离，利用几乎位于同一经线上的柏林(点)与好望角(点)为基点，测量出的大小，并计算出两地之间的距离，进而算出了地球与月球之间的距离约为 km。我们在地球上所能用的最长的基线是地球椭圆轨道的长轴。 测量高度的问题 3 例10 如图， 是底部 不可到达的一座建筑物， 为建筑物的最高点。设计一种测量建筑物高度 的方法，并求出建筑物的高度。 由锐角三角函数知识可知，只要获得一点 (点 到地面的距离可求)到建筑物的顶部 的距离 ，并测出由点 观察 的仰角，就可以计算出建筑物的高度。为此，应再选取一点，构造另一个含有的，并进行相关的长度和角度的测量，然后通过解三角形的方法计算出. 【分析】 测量高度的问题 3 解： 如图，一条水平基线 ，使三点在同一条直线上。在两点用测角仪器测得 的仰角分别是 ，，测角仪器的高是 ，那么，在，由正弦定理，得 所以，这座建筑物的高度为 测量角度的问题 4 例11 位于某海域 处的甲船获悉，在其正东方向相距 n mile 的 处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西 ，且与甲船相距 n mile 的 处的乙船。那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度(精确到 )？需要航行的距离是多少海里（精确到 n mile)？ 【分析】 首先应根据“正东方向”“南偏西”“目标方向线”等信息，画出示意图。 测量角度的问题 4 解： 根据题意，画出示意图。由余弦定理，得 n mile n mile 北 于是 （n mile） 由正弦定理，得 于是 由于 所以 因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向是北偏东，大约需要航行 n mile. 02 小结及随堂练习 课堂小结 1 余弦定理、正弦定理应用举例 测量距离 测量高度 测量角度 随堂练习 2 1. 如图所示，已知两座灯塔 和 与海洋观察站 的距离相等， 灯塔 在观察站 的北偏东 ， 灯塔 在观