6.4.3 余弦定理、正弦定理(第2课时 正弦定理)-【数学一起课件】高中数学必修第二册同步PPT课件（人教A版2019）

第六章 平面向量及其应用 人教版高中数学必修第二册（A版） 讲课老师：XXX 6.4.3 余弦定理、正弦定理 （第2课时 正弦定理） 高中 数学 知识回顾 余弦定理 余弦定理及推论 解三角形 已知两边和一个夹角，求第三边 已知三角形三边解三角形三个角 学习目标 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的问题； 通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律； 通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现过程，逐步培养探索精神和创新意识；通过对正弦函数的学习体会数学的对称美，和谐美。 情景导入 问题 余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式。如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？ 01 正弦定理 问题探究 1 可以解决“在中，已知 ，，，求”的问题。 在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论。 实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系。 从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为：在中， 设 的对边为 ， 的对边为 ， 求 ，，， 之间的定量关系。 问题探究 1 根据锐角三角函数，在Rt 中，有 ， 显然，上述两个关系式在一般三角形中不成立。观察发现，它们有一个共同元素 ，利用它把两个式子联系起来，可得 又因为 ，所以上式可以写成边与它的对角的正弦的比相等的形式，即 问题探究 1 （1）锐角三角形 对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？ 在锐角中，过点作与 垂直的单位向量 ，则 与 的夹角为 ， 与的夹角为 。 因为 ，所以 由分配律，得 ， 即 ， 也即 ，所以 同理，过点 作与 垂直的单位向量 ，可得 ， 因此， 问题探究 1 （2）钝角三角形 如图，在钝角中， 为钝角，过点作与 垂直的单位向量 ，则 与 的夹角为 ， 与的夹角为 。 仿照上述方法，同样可得 正弦定理 2 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 应用 已知两角和任一边，求其他的边和角； 已知两边和其中一边的对角，求其他边和角； 边角互相转化。 例题解析 3 例7 在中，已知解这个三角形. 解： 由三角形内角和定理，得 由正弦定理，得 例题解析 3 例8 在中，已知解这个三角形. 解： 由正弦定理，得 因为 ， 所以 ， 于是 ，或 分析： 这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题，可以利用正弦定理. （1）当时， 此时， 例题解析 3 （2）当时， 此时， 思考题 4 为什么角C有两个值？ 由三角函数的性质可知： 在区间 内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解； 正弦函数在区间 内单调递增，在区间 内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解。 02 小结及随堂练习 课堂小结 1 正弦定理 正弦定理 解三角形 已知两角和任一边，求其他的边和角 已知两边和其中一边的对角，求其他边和角 边角互相转化 解题方法 2 （1）若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由 三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边； （2）若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第 三个角，再由正弦定理求另外两边． 已知两角及一边解三角形 解题方法 2 （1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； （2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、 大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦 值可求锐角唯一； （3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对 的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论． 已知两边及一边的对角解三角形 随堂练习 3 1. 判断正误 （1）正弦定理不适用直角三角形。 （ ） （2）在中， 总成立。 (　　) （3）在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值。(　　) 随堂练习 3 2. 在中，若 ，则有 （ ） 因为 ， 所以 【解析】 A. B. C. D. 的大小无法判定 随堂练习 3 3. 在中，三个内角 的对边分别为，已知，，，那么 等于（ ） 由 得， ， ∴ 或 又 ∵ ，∴ ，∴ 【解析】 A. B. C. D. 随堂练习 3 4. 在中， ，，则 由 得， ， 又 ，所以 ，， 所以 【解析】 随堂练习 3 5. 在中，，，解这个三角形。 由正弦定理及已知条件有 ，得 ， ∵ ，∴ ，∴ 或 【解析】 当 时，， ， 当 时，， . 综上，可知 ， ， 或 ， ， 谢谢观看 $