6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示-【数学一起课件】高中数学必修第二册同步PPT课件（人教A版2019）

第六章 平面向量及其应用 人教版高中数学必修第二册（A版） 讲课老师：XXX 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 高中 数学 知识回顾 平面向量基本定理 基本定理 基底 不共线 学习目标 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 通过学习平面向量的正交分解及其坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力。 情景导入 问题：由平面向量基本定理，我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？ 01 平面向量的正交分解 问题探究 1 给定平面内两个不共线的向量，，由平面向量基本定理可知，平面上的任意向量，均可分解为两个向量，，即 ，其中向量与共线，向量与共线。 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形。 平面向量的正交分解 2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解。 定义 如图，重力沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解。 正交分解是向量分解中常见而实用的一种情形。在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，将为我们研究问题带来方便。 平面向量的正交分解 2 正交分解可看成是平面向量基本定理的特例，平面向量的基本定理是把平面内的任意一个向量分解为两个不共线的向量，正交分解则是这两个不共线向量互相垂直的特殊形式。 补充说明 02 平面向量的坐标表示 问题探究 1 在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示。那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 思考： 如图，在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，，取作为基底。对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使得 平面向量的坐标表示 2 这样，平面内的任一向量，都可由，唯一确定，我们把有序数对叫做向量 的坐标，记作 ① 其中，叫做在轴上的坐标， 叫做在轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示。 显然， ， ，。 向量 𝒂 的坐标表示 平面向量的坐标表示 2 如图，在直角坐标平面中，以原点为起点作，则点的位置由向量唯一确定。 设，则向量的坐标就是终点的坐标；反过来，终点的坐标也就是向量的坐标。因为，所以终点的坐标就是向量的坐标。这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系。 点的坐标与向量的关系 平面向量的坐标表示 2 点的坐标与向量的坐标的联系和区别 区别 点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向。向量的坐标仅仅由向量的大小和方向决定，与向量的位置无关。 书写不同：如向量的坐标点的坐标。 联系 当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标； 两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同，若，则 相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同. 【注意】 例题解析 3 例3 由图可知，， 所以 同理， ， ， . 如图，分别用基底表示向量并求出它们的坐标。 解： 03 小结及随堂练习 课堂小结 1 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的正交分解 平面向量的坐标表示 把一个向量分解为两个互相垂直的向量 随堂练习 2 1、判断题(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(　　) （2）当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐 标．(　　) （3）两向量差的坐标与两向量的顺序无关．(　　) （4）点的坐标与向量的坐标相同．(　　) 随堂练习 2 【解析】 （1）错误。对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样。 （2）正确。根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐 标之差等于终点坐标。 （3）错误。根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序 有关。 （4）错误。当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于（终）点 的坐标。 随堂练习 2 2、如图，在正方形中，为中心，且，则________； ________. ∵ ， 由正方形的对称性可知， ∴ ，同理 【解析】 随堂练习 3 3、如图，已知在边长为的正方形中，与轴正半轴成角，求点和点的坐标和与的坐标． 由题意知 分别是，角的终边与以点为圆心的单位圆的交点。设，由三角函数的定义 解： 得， 所以， ， 所以， ， 谢谢观看 $