6.3.1 平面向量基本定理-【数学一起课件】高中数学必修第二册同步PPT课件（人教A版2019）

第六章 平面向量及其应用 人教版高中数学必修第二册（A版） 讲课老师：XXX 6.3.1 平面向量基本定理 高中 数学 知识回顾 向量的数量积 向量的夹角 向量的数量积 定义 与同向 向量数量积的性质 向量数量积的运算律 投影与投影向量 与反向 与垂直，记作 学习目标 了解平面向量基本定理； 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法； 能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达。 情景导入 问题1：向量的加法运算是什么运算法则呢？ 【答案】 ①三角形法则：作平移，首尾连，由起点指终点。 ②平行四边形法则：作平移，共起点，四边形，对角线。 情景导入 问题2：平面中的非零共线向量该如何表示？ 【答案】 向量与共线的充要条件是： 存在唯一一个实数，使 问题3：根据问题1和2，你有什么猜想？ 【答案】 平面内任一向量可以由同一平面内的两个不共线向量表示。 我们知道：已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力也可以分解为两个力。 情景导入 问题4：物理中我们根据什么方法进行力的分解？ 【答案】 平行四边形法则。 由此我们推断出：可以通过作平行四边形，如右图，将力分解为多组大小、方向不同的分力。 由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和呢？ 01 平面向量的基本定理 问题探究 1 如图（1），设是同一平面内两个不共线的向量， 是这一平面内与都不共线的向量。如图（2），在平面内任取一点，作。 将 按 的方向分解，你有什么发现？ （1） （2） 问题探究 1 如图（3），过点作平行于直线的直线，与直线交于点；过点作平行于直线的直线，与直线交于点，则。由与共线， 与共线可得，存在实数入，，使得， ，所以。也就是说，与都不共线的向量都可以表示成的形式。 （3） 问题探究 1 你能根据上述过程证明以下结论吗？ （1）当是与或共线的非零向量时，； （2）当是零向量时，。 思考1 【证明】 （1）我们学过，向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实 数，使。 因为是与或共线的非零向量，所以 （2）根据规定 与任意向量共线，因为，所以 问题探究 1 根据上述讨论你能得到什么结论？ 思考2 【结论】 上述讨论表明，平面内任一向量都可以按的方向分解，表示成的形式，而且这种表示形式是唯一的。如果还可以表示成的形式，那么。可得。由此式可以推出，全为 (假设，不全为，不妨假设入，则。由此可得共线。这与已知不共线矛盾)，即，。也就是说，有且只有一对实数，，使。 平面向量基本定理与基底 2 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使. 平面向量基本定理 基底 若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。 平面向量基本定理 2 ①这个定理告诉我们，平面内任意两个不共线向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则平面内的任一向量都可用该组基底唯一表示。 ②对于确定的基底，同一向量的分解式是唯一的，不同向量的分解式是不同的。 ③同一非零向量在不同的基底下分解式是不同的，零向量的分解式是唯一的，即：，且 ④这个定理可以推广为：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可以表示成其余两个向量的线性组合，且形式唯一。 补充说明 例题解析 3 例1 如图，， 不共线，且，用， 表示. 解： 因为 ， 所以 例题解析 3 例2 如图，是的中线，，用向量方法证明是直角三角形。 由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示。本题可取为基底，用它表示，。证明，可得，从而证得是直角三角形。 分析 例题解析 3 证明： 如图，， ，则， ，于是 因为 ， 所以 。 因为 ， 所以 因此 于是是直角三角形。 向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段（或直线）是否垂直的重要方法之一。 02 小结及随堂练习 课堂小结 1 平面向量基本定理 基本定理 基底 不共线 随堂练习 2 1、已知平行四边形，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是(　　) A. ， B. ， C. D. ， 由于， 不共线，所以是一组基底。 【解析】 D 【答案】 随堂练习 2 2、已知向量， ，其中不共线，则与的关系是(　　) A. 不共线 B. C. D. ∵ ， 则 ∴ 与共线 【解析】 B 【答案】 随堂练习 2 3、如图，在矩形中，若，，则(　　)。 A. B. C. D. 【解析】 A 【答案】 随堂练习 2 4、已知，，三点共线，且对任一点，有，则(　　)。 A. B. C. D. ∵ ，，三点共线 【解析】 C 【答案】 ∵ 实数，使，则) 即 ∴ ，即 随堂练习