6.2.1 向量的加法运算-【数学一起课件】高中数学必修第二册同步PPT课件（人教A版2019）

第六章 平面向量及其应用 人教版高中数学必修第二册（A版） 讲课老师：XXX 6.2.1 向量的加法运算 高中 数学 知识回顾 平面向量的概念 向量的实际背景与概念 向量的几何表示 相等向量与共线向量 向量 有大小 有方向 数量 只有大小 长度（模） 零向量 0 单位向量 平行向量 相等向量 共线向量 方向相同或者相反 长度相等且方向相同 平行向量 学习目标 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和，培养数形结合解决问题的能力； 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法. 情景导入 数有加减乘除运算，那么向量有没有加减乘除运算，如果有，该怎么运算呢？ 4 01 向量加法的三角形法则 探索新知 1 我们知道，位移、力是向量，它们可以合成。能否从位移、力的合成中得到启发，引进向量的加法呢？ 思考 如图，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？ 探索新知 1 物理知识告诉我们，这个质点两次位移， 的结果，与从点A直接到点C的位移结果相同。因此，位移可以看成是位移与合成的。数的加法启发我们，从运算的角度看， 可以看作是与的和，即位移的合成可以看作向量的加法。 探索新知 1 如图，已知非零向量，，在平面内取任意一点A，作， ,则向量叫做与的和，记作，即. 向量加法的定义 2 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 向量的加法 两个向量的和，仍然是一个向量； 对于零向量与任意向量，规定 注意 向量加法的三角形法则 3 向量加法的三角形法则 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。 02 向量加法的平行四边形法则 探索新知 1 思考 如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力与的作用，你能作出这个物体所受的合力吗？ 探索新知 1 我们知道，合力在以，为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长。从运算的角度看，可以看作是与的和，即力的合成可以看作向量的加法。 向量加法的平行四边形法则 2 如图，以同一点为起点的两个已知向量，，以，为邻边作，则以O为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和。 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。 力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型。 对向量加法两个法则的理解 3 1、两个法则的使用条件不同： 三角形法则适用于任意两个非零向量求和； 平行四边形法则只适用于两个不共线的相量求和。 2、当两个向量不共线时，两个法则是一致的： 如图所示， （平行四边形法则） 又因为，所以（三角形法则） 3、三角形法则中强调“首尾相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；平行四边形法则中强调的是“共起点，不共线”，其和向量为共起点的“对角线”向量。 4、作三个或者三个以上的向量求和时，使用三角形法则更简单。 例题解析 4 如图，已知向量，，求作向量. 例1 在平面内任取一点（图6.2-6（1）），作 ， ，则. 作法1： 在平面内任取一点（图6.2-6（2）），作 ， ，以OA，OB为临边作，连接OC，则. 作法2： 图6.2-6（1） 图6.2-6（2） 03 向量加法的运算律 探索新知 1 思考 （1）如果向量𝒂，𝒃共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能作出向量𝒂+𝒃吗？ （2）结合例1探索，，之间的关系。 一般地，我们有，当且仅当𝒂，𝒃方向相同时等号成立。 探索新知 1 思考 数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？ 探索新知 1 满足交换律 满足结合律 向量加法运算律的意义和应用原则 2 向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的． 实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． 利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 意义 应用原则 例题解析 3 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为km/h，同时江水的速度为向东 km/h。 例2 （1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到1º）． 例题解析 3 解： （1）如图， 表示船速， 江水速度，以，为邻边作，则船实际航行的速度。 （2）在Rt△ABC中，，，于是 因为，所以利用计算工具可得. 因此，船实际航行的速度的大小约为16.2km