1.4 充分条件与必要条件-【数学一起课件】高中数学必修第一册同步PPT课件（人教A版2019）

人教版高中数学必修第一册（A版） 第一章　集合与常用逻辑用语 1.4 充分条件与必要条件 讲课老师：XXX 高中数学 +-×÷ 知识回顾 集合的基本运算 并集 交集 补集 A并B ，或 A交B ，且 全集“” 补集“” ，且 情景导入 在初中，我们已经对命题有了初步的认识。一般地，我们把用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句叫做命题。判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题。中学数学中的许多命题可以写成“若，则”“如果，那么”等形式。其中称为命题的条件，称为命题的结论。 下面我们将进一步考察“若，则”形式的命题中和的关系，学习数学中的三个常用的逻辑用语充分条件、必要条件和充要条件。 01 充分条件与必要条件 举例说明 1 下列“若，则”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； （3）若，则； （4）若平面内两条直线和均垂直于直线，则. 在命题（1）（4）中，由条件通过推理可以得出结论，所以它们是真命题。 在命题（2）（3）中，由条件不能得出结论，所以它们是假命题。 充分条件与必要条件 2 命题真假 “若，则”是真命题 “若，则”是假命题 推出关系 条件关系 是的充分条件 是的必要条件 不是的充分条件 不是的必要条件 对充分和必要条件的补充说明 3 （1）是的充分条件反映了，而是的必要条件也反映了，所以“是的充分条件”， “是的必要条件”表达的是同一逻辑关系，只是说法不同而已。 （2）而“是的充分条件”只能说明，与能否推导出是没有任何关系的。 关于充分条件的例题解析 4 例1 下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； 解: 这是一条平行四边形的判定定理，，所以是的充分条件。 这是一条相似三角形的判定定理，，所以是的充分条件。 解: 这是一条菱形的性质定理，，所以是的充分条件。 解: 关于充分条件的例题解析 4 由于，但，，所以不是的充分条件。 由等式的性质知，，所以是的充分条件。 为无理数，但为有理数，，所以不是的充分条件。 （4）若，则; （5）若，则; （6）若，为无理数，则为无理数 解: 解: 解: 判断充分条件的方法技巧 5 举反例是判断一个命题是假命题的重要方法。 关于必要条件的例题解析 6 （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； 例2 （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； 下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ 这是平行四边形的一条性质定理， ，所以是的必要条件。 解: 这是三角形相似的一条性质定理， ，所以是的必要条件。 解: 如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形， ，所以不是的必要条件。 解: A B C D 关于必要条件的例题解析 6 （6）若为无理数，则，为无理数. （4）若，则； （5）若，则； 显然， ，所以是的必要条件。 解: 由于，但，，所以不是的必要条件。 解: 由于为无理数，但， 不全是无理数，，所以不是的必要条件。 解: 判断必要条件的方法技巧 7 一般地，要判断“若𝑝，则𝑞”形式的命题中𝑞是否为𝑝的必要条件，只需判断是否有“𝑝⇒𝑞”，即“若𝑝，则𝑞”是否为真命题。 02 充要条件 举例说明 1 下列“若，则”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； （3）若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则; （4）若是空集，则𝐴与𝐵均是空集。 举例说明 1 命题（1）（4）和它们的逆命题都是真命题； 命题（2）是真命题，但它的逆命题是假命题； 命题（3）是假命题，但它的逆命题是真命题。 将命题“若，则”中的条件和结论互换，就得到一个新的命题“若，则”，称这个命题为原命题的逆命题。 逆命题 上述命题中： 充要条件 2 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，就记作 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称为充要条件。显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件。 充要条件是相互的，同时存在的，即和互为充要条件。 充要条件 2 p与q的关系 结论 ，且 是的充分不必要条件 ，且 是的必要不充分条件 ，且 是的充要条件 ，且 是的既不充分也不必要条件