2.2 基本不等式-【数学一起课件】高中数学必修第一册同步PPT课件（人教A版2019）

人教版高中数学必修第一册（A版） 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 讲课老师：XXX 高中数学 1 知识回顾 等式性质与不等式性质 一个重要不等式 等式的基本性质 不等式的基本性质 不等关系及其表示 实数大小的比较 实数大小比较的基本事实① 实数大小比较的基本事实② 做差法 做商法 对称性 传递性 加减性 同乘性 同除性 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 同正可乘方性 找准不等式所联系的量 用适当的不等号连接 2 学习目标 1、掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。 2、经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。 3、在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。 01 基本不等式及其推导 1 基本不等式 前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： ，有 . 当且仅当时，等号成立。 特别地，如果，，我们用分别代替上式中的，可得 当且仅当时，等号成立。 （1） 通常称不等式（1）为基本不等式，其中，叫做正数的算数平均数， 叫做正数的几何平均数。 2 基本不等式的推导 【问题】 【分析】 上述基本不等式是如何推导的呢？ 要证 ① 只要证 ② 要证②，只要证 ③ 要证③，只要证 ④ 要证④，只要证 ⑤ 显然，⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立。 只要把上述过程倒过来，就能直接推导出基本不等式了。 2 基本不等式的推导 （1）基本不等式成立的条件是，. ①若，，如，，此时是不成立的； ②若，中有一个小于，如，，则无意义； ③若或等于，虽然该不等式也成立，但一般不研究这种情况。 （2）基本不等式的常见变形： ① ② 02 基本不等式的几何意义 基本不等式的几何意义 如右图，是圆的直径，点是上一点，，。过点作垂直于的弦，连接，。你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 可证，因而。由于小于或等于圆的半径，用不等式表示为 答： 显然，当且仅当点与圆心重合，即当时，上述不等式的等号成立。 03 基本不等式求最值 基本不等式求最值 例1 已知，求的最小值。 分析 求的最小值，就是要求一个，使，都有 . 观察，发现.联系基本不等式，可以利用正数和的算数平均数与几何平均数的关系得到. 解 因为，所以 当且仅当，即，时，等号成立，因此所求的最小值为2. 基本不等式求最值 例2 已知都是正数，求： （1）如果积定值，那么当时，和有最小值； 证明 因为都是正数，所以 （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值. （1）当积定值时， ，所以， ， 当且仅当时，上式等号成立。于是，当时，和有最小值. （2）当和定值时，，所以， ， 当且仅当时，上式等号成立。于是，当时，积有最大值. 04 基本不等式的实际应用 基本不等式的实际应用 例3 （1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ 矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短。 【分析】 解： 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为m，m，篱笆长度为m. 由已知可得. 由，可得，所以. 当且仅当时，上式等号成立。 因此，当这个矩形菜园的边长为m，所用篱笆最短，最短篱笆长度为m。 基本不等式的实际应用 （2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解： 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为m，m，篱笆长度为m. 由已知可得，矩形菜园的面积为m². 由，可得， 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园的边长为m，菜园的面积最大，最大面积为m²。 基本不等式的实际应用 例4 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为m³，深为m。如果池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 贮水池呈长方体形，它的高是m，池底的边长没有确定。如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了。因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低。 【分析】 m ? ? 基本不等式的实际应用 解： 设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为m，m，水池的总造价为元. 根据题意，有 由容积为m³，可得，因此， 所以， 当时，上式等号成立，此时 所以，将贮水池的池底设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价时297 600元. 05 小结及随堂练习 1 课堂小结 基本不等式 基本不等式 基本不等式的几何意义 基本不等式求最值 基本不等式的实际应用 ，， ，当且仅当时，等号成立 求最短长度 求最大面积 求最低造价 带倒数的题型求最值 积一定时求最值 和一定时求最值 2 随堂练习 1.