2.1 等式性质与不等式性质-【数学一起课件】高中数学必修第一册同步PPT课件（人教A版2019）

人教版高中数学必修第一册（A版） 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 讲课老师：XXX 高中数学 1 学习目标 1、掌握等式性质与不等式性质，能够运用其解决简单的问题。 2、进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小。 3、通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。 2 情景导入 轻与重 高与矮 长与短 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢，涨与跌、轻与重、不超过或不少于等. 类似这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等，相等用等式表示，不等用不等式表示. 01 不等关系及其表示 不等关系及其表示 【问题1】 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ (1)某路段限速40km/h； (2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于，蛋白质的含量应不少于； 设在该路段行驶的汽车的速度为km/h，“限速40 km/h”就是的大小不能超过40，于是． 根据题意可得，，. 不等关系及其表示 (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 设的三条边为，，，则，. 如右图所示，设是线段外的任意一点，垂直于，垂足为，是线段上不同于的任意一点，则. 不等关系及其表示 【问题2】 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本。如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 【分析】 设提价后每本杂志的定价为元，则销售总收入为（万元。于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为 求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围. （. ① 如何解不等式①呢？用不等式的性质！ 02 实数大小的比较 1 问题探究 实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质。那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实. 【回顾】 不等式的性质 文字语言 性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2 不等式的两边同乘（或除以）一个正数，不等号的方向不变 性质3 不等式的两边同乘（或除以）一个负数，不等号的方向改变 1 问题探究 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如下图，设，是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是，。那么，当点在点的左边时，；当点在点的右边时，；当点与点重合时，。 2 实数大小的比较 【实数大小比较的基本事实①】 如果是正数，那么；如果等于0，那么；如果是负数，那么。反过来也对。这个基本事实可以表示为： ； ； . 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小。 做差法 2 实数大小的比较 【实数大小比较的基本事实②】 设，，当时， ；当时，；当时， . ； ； . 做商法 设，，当时， ；当时，；当时， . ； ； . 3 例题解析 例1 （1）比较和的大小。 通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系。 分析 解： 因为 所以 温馨提示 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”。 3 例题解析 例1 （2）若，比较和的大小。 解： 因为，所以， 即，所以 . 温馨提示 1是相等与不等的分界线，它也为比较实数的大小提供了标杆。 03 一个重要不等式 1 问题探究 如图，是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 1 问题探究 将会标抽象成右图。在正方形中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边的长为，，那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积和为，正方形的面积为.由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有 于是就有 . 2 一个重要不等式 一般地，，有 . 当且仅当时，等号成立。 事实上，利用完全平方差公式，得 . 因为， ，当且仅当时，等号成立，所以 。因此，由两个实数大小关系的基本事实，得 ，当且仅当时，等号成立。 这个不等式被称为重要不等式。 04 等式的基本性质 等式的基本性质 关于两个实数大小关系的基本事实为研究不等式的性质奠定了基础。那么，不等式到底有哪些性质呢？ 因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画，所以我们可以从等式的性质及其研究方法中获得启发， 【等式